大学数学概率论及试验统计第三版6-1

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1、第六章参数估计引言上一章，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，给出了几个重要的抽样分布定理.它们是进一步学习统计推断的基础.总体样本统计量描述作出推断研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.随机抽样现在我们来介绍一类重要的统计推断问题参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.参数估计估计废品率估计新生儿的体重估计湖中鱼数……估计降雨量在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数.这类问题称为参数估计.参数估计问题的一般提法X1,

2、X2,…,Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量).为F(x,)，其中为未知参数(可以是参数估计点估计区间估计（假定身高服从正态分布）设这5个数是:1.651.671.681.781.69估计为1.68，这是点估计.这是区间估计.估计在区间[1.57,1.84]内，假如我们要估计某班男生的平均身高.现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值的估计.而全部信息就由这5个数组成.§6.1未知参数的点估计设总体X~F(x,)未知构造估计量的方法常用有二:矩估计

3、法极大似然估计法一.矩估计法(数字特征法)——总体k阶原点矩——样本k阶原点矩——总体k阶中心矩——样本k阶中心矩所谓的矩估计法,就是用样本矩估计总体矩,从而得出未知参数估计量的方法.矩的核心是原点矩,故矩估计方法的具体做法是：令解根据矩估计法,例1解例2解方程组得到a,b的矩估计量分别为解例3解解方程组得到矩估计量分别为例4上例表明:总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异.一般地,用样本方差作为总体的方差的矩估计。矩估计法的优缺点：直观简便，不需要知道总体X的分布函数，只要X的相应的矩存在即可。由于样本矩与总体分布无关。因而矩估计法没有充分利用分

4、布函数F(x,)所提供的对的信息。三阶矩以上，误差较大。练习题二.极大似然估计法作为矩估计法的改进,Fisher引进了极大似然估计.这一方法充分利用了总体X的分布F(x,)及样本所提供的关于的信息.费舍尔1、极大似然思想一般地，事件A发生的概率与参数有关，取值不同，则P(A)也不同。因而可以记事件A发生的概率为P(A；).若A发生了，则认为此时的值应是在所有可能值中使P(A；)达到最大的那一个。这就是极大似然思想.1.设总体X为离散型随机变量，它的分布律为现有样本观察值x1,x2,…xn,,其中xk取值于{ak,k=1,2…}问：根据极大似然思想，

5、如何用x1,x2,…xn估计q?根据极大似然思想,值应是使P(A

6、)达到最大的那一个,也就是使样本联合分布律最大.2.设总体X为连续型随机变量，概率密度f(x;q)现有样本观察值x1,x2,…xn,问：根据极大似然思想，如何用x1,x2,…xn估计q?根据极大似然思想,值应是使P(A

7、)达到最大的那一个,也就是使样本联合密度最大.3、似然函数与极大似然估计为该总体的似然函数。定义：若有使得则称为的极大似然估计.记为求极大似然估计量的一般方法:(1)写出似然函数(2)取对数解似然函数例5这一估计量与矩估计量是相同的.解例6这一估计量与矩估计量是相同的.解X的似

8、然函数为例7它们与相应的矩估计量相同.解例8想一想用不同的方法可以得到不同形式的估计量,该怎样评价估计量的好坏?三.评价估计量优劣的标准估计量是随机变量,不同的样本值得到不同的估计值.我们希望估计值在未知参数真值左右徘徊.这导致了估计量最基本的一个标准.1.无偏性无偏估计的实际意义:无系统误差.证例9特别的:不论总体X服从什么分布,只要它的数学期望存在,证例10(这种方法称为无偏化).证例11由上例可知,一个参数可以有不同的无偏估计量.2.有效性证明例12(续例11)小结两种求点估计的方法:矩估计法极大似然估计法在统计问题中往往先使用极大似然估计法,在极大似然估计法使

9、用不方便时,再用矩估计法.估计量的评选的两个标准无偏性有效性Ex设总体X的概率密度为其中>0,未知,从总体中抽取简单随机样本(1)求的矩估计(2)求所得估计量的期望与方差.费舍尔资料RonaldAylmerFisherBorn:17Feb.1890inLondon,EnglandDied:29Jul.1962inAdelaide,Australia