大学数学概率论及试验统计第三版4-3

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1、§4.3大数定律与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:与大数定律中心极限定理下面我们先介绍大数定律一、大数定律问题提出及背景在大量的随机试验中，事件的频率及大量测量值的算术平均值都具有稳定性。频率的稳定性：则—n次试验中A出现的频数—A出现的频率算术平均值的稳定性：真值为μ，为n次测量结果，

2、我们知道以严格的数学形式表述随机现象最根本性质之一：平均结果稳定性的定理，统称为大数定律。他从理论上指明了大量随机现象的统计规律性。大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率……1.契比雪夫不等式证明取连续型随机变量的情况来证明.切比雪夫不等式契比雪夫得由切比雪夫不等式可以看出，若越小，则事件{

3、X-E(X)

4、<}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.vX与它的期望的偏差不小于的概率的估计式.如取例1已知正常男性成人血液中，每一

5、毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用契比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为P(5200X9400)P(5200X9400)=P(5200-7300X-73009400-7300)=P(-2100X-E(X)2100)=P{

6、X-E(X)

7、2100}由契比雪夫不等式P{

8、X-E(X)

9、2100}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.例2在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用契比雪夫不等式求：n需要多么大时

10、，才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解：设X为n次试验中，事件A出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的n.则X~B(n,0.75)所求为满足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n=P(-0.01n

11、X-E(X)

12、<0.01n}P(0.74n

13、X-E(X)

14、<0.01n}解得依题意，取即n取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.

15、90.2.契比雪夫大数定律定理若随机变量相互独立，各个的及都存在，且各个的值不超过某一正数k，则对于任意给定的正数表达式的意义1000个[0，4]均匀分布随机数前n项算术平均值的变化趋势推论若随机变量相互独立，同分布，且各个的为有限数，则对于任意给定的正数关于契比雪夫大数定律的说明:（这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下,n个随机变量的算术平均,当n无限增加时,几乎变成一个常数.定理的另一种叙述:伯努利定理（伯努利大数定理）关于伯努利定理的说明:故而当n很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小.在实际应用中,当试验次数很大时,便可以

16、用事件发生的频率来代替事件的概率.二、中心极限定理问题提出及背景观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和,这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等)的作用,所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的

17、,并且它们中每一个对总和产生的影响不大.在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的影响。现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限.定理（独立同分布的中心极限定理）定理表明:特别，应用中一种常用的情形：它就是我们学过的DeMoivre-Laplace定理。三、典型例题解由中心极限定理,随机变量Z近似服从正态分布N(0,1),例1其中一船舶在某海区航行,已

18、知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于3º的概率为1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有29500～30500次纵