江苏专用版2018-2019学年高中数学4.1.2极坐标系学案苏教版选修

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1、4.1.2　极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．有序实数对(ρ，θ)称为

2、点M的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以看成点M的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图413所示)，平面内任一点M的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：或图413通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】　建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；

3、(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】　根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】　由ρ2＝x2＋y2求ρ时，ρ不取负值；由tanθ＝(x≠0)确定θ时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当x≠0时，θ角才能由tanθ＝

4、按上述方法确定．当x＝0时，tanθ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；(2)当x＝0，y＞0时，可取θ＝；(3)当x＝0，y＜0时，可取θ＝.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：________________________________

5、_____________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________极坐标系中点的坐标　写出图414中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．图414【自主解答】　对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角

6、，因此这些点的极坐标为A，B，C，D，E，F(3，π)，G.[再练一题]1．已知边长为a的正六边形ABCDEF，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】　以正六边形中心O为极点，OC所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(a，π)，A(a，π)，B(a，π)或C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(a，π)，A(a，－)，B(a，－).极坐标的对称性　在极坐标系中，求与点M(3，－)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】　极坐标系中点M(

7、ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M′(ρ，2kπ－θ)(k∈Z)，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2kπ＋)(k∈Z)．[再练一题]2．在极坐标系中，点A的极坐标为(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是________；(2)点A关于极点对称的点的极坐标是________．(3)点A关于直线θ＝对称的点的极坐标是________．【解析】　通过作图如图可求解为【答案】　(1)(3，)　(2)(3，)　(3)(3，)极坐标与直角坐标的互化　(1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(，－)化成

8、极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】　(1)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝4，因此，点M的直角坐标是(－4,4)．(2)ρ＝＝2，tanθ＝＝－，又因为点P在第四象限且0≤θ≤2π