高中数学4.1坐标系4.1.2极坐标系知识导航学案苏教版选修4

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1、4.1.2极坐标系自主整理1.在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个______________和计算角度的______________（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系.其中点O称为______________，射线OX称为______________.答案:长度单位正方向极点极轴2.设M是平面上任一点，ρ表示OM的____________，θ表示以射线OX为始边，射线OM为终边所成的____________.那么，有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标.显然

2、每一个有序实数对(ρ,θ)决定一个点的位置.其中，ρ称为点M的____________，θ称为点M的____________.答案:长度角极径极角3.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x,y）和（ρ，θ），则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：______________;____________.通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取____________，____________.答案:(x≠0)ρ≥00≤θ＜2π高手笔记1.极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的

3、坐标形式.极坐标系与平面直角坐标系一样，都是刻画点的位置和运动的参照物，是建立点的集合与坐标的集合的对应关系的桥梁.2.建立极坐标系的要素是:①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向,四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径ρ表示点M与极点O的距离｜OM｜，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.3.建立极坐标系后，给定ρ和θ，就

4、可以在平面内惟一确定点M；反过来，给定平面内的任意一点，也可以找到它的极坐标（ρ，θ）.一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，θ+2kπ）（k∈R）表示同一个点.特别地，极点O的坐标为（0，θ）（θ∈R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可以用惟一的极坐标（ρ，θ）表示；同时，极坐标（ρ，θ）表示的点也是惟一确定的.4.极坐标与直角坐标互化的三个前提条件是：（1）极点与直角坐标系的原点重合；（2）极轴与直角坐标系横轴的正半轴重合；

5、（3）两坐标系中的长度单位相同.由ρ2=x2+y2求ρ时，ρ不取负值；由tanθ=(x≠0)确定θ时，根据点（x,y）所在的象限取最小正角.当x≠0时，θ角才能由tanθ=按上述方法确定.当x=0时，tanθ没有意义，这时又分为三种情况：（1）当x=0,y=0时，θ可取任何值；（2）当x=0,y＞0时，可取θ=；（3）当x=0,y＜0时，可取θ=.5.研究直角坐标与极坐标的关系，可以从定义出发，极坐标M（ρ，θ）中，ρ是M到极点O的距离，θ是以极轴OX为始边，射线OM为终边的角，把直角坐标系的原

6、点作为极点，x轴的正半轴为极轴，那么（ρ，θ）与（x,y）之间的联系可以用三角函数表示：cosθ=,sinθ=,tanθ=,由这两组式子可以方便地在两种坐标之间互化.名师解惑平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但为什么它并不是确定点的位置的惟一方法，为什么要使用极坐标？剖析：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离（即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想）这两个量，有时却是依靠距离与方位角（即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基

7、本思想）这两个量.在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置.有些复杂的曲线，比如说环绕一点作旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理.在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x与y之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程

8、.总之，使用极坐标是人们生产生活的需要.平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的惟一方法.讲练互动【例题1】设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30（万千米）时，经过地球和彗星的直线与抛物线的对称轴的夹角为，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标.思路分析：如图所示,建立极坐标系，使极点O位于抛物线的焦点处，极轴OX过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：（1）当θ=时,ρ=30（万千