江苏专用版2018-2019学年高中数学4.1.3球坐标系与柱坐标系学案苏教版选修

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1、4.1.3　球坐标系与柱坐标系1．球坐标系、柱坐标系的理解．2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化．[基础·初探]1．球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．图415(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.2．直角坐标与球坐标间的关系图416若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标

2、系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图416所示．x2＋y2＋z2＝r2，x＝rsin_θcos_φ，y＝rsin_θsin_φ，z＝rcos_θ.3．柱坐标系建立了空间直角坐标系Oxyz后，设P为空间中任意一点，它在xOy平面上的射影为Q，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面xOy上的极坐标，这时点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.图

3、4174．直角坐标与柱坐标之间的关系[思考·探究]1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】　柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成．2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z＝z0分别表示什么图形？【提示】　在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆

4、，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面．方程z＝z0表示平行于xOy坐标面的平面，如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________

5、_______________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________将点的柱坐标或球坐标化为直角坐标　(1)已知点M的球坐标为，则点M的直角坐标为________．(2)设点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为________．【自主解答】　(1)设M(x，y，z)，则x＝2sin·cos＝－1，y＝2×sin×sin＝1，z＝2×cos＝－.即M点坐标为(－1,1，－)．(2)设M(x，y，z)，则

6、x＝2×cos＝，y＝2×sin＝1，z＝7.即M点坐标为(，1,7)．【答案】　(1)(－1,1，－)　(2)(，1,7)[再练一题]1．(1)已知点P的柱坐标为，则它的直角坐标为________．(2)已知点P的球坐标为，则它的直角坐标为________．【解析】　(1)由变换公式得：x＝4cos＝2，y＝4sin＝2，z＝8.∴点P的直角坐标为(2,2，8)．(2)由变换公式得：x＝rsinθcosφ＝4sincos＝2，y＝rsinθsinφ＝4sinsin＝2，z＝rcosθ＝4cos＝－2.∴它的直角坐标为(2,2，－2)．【答案】　(1)(2,2，8)　(2)(2,2

7、，－2)将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标　已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图418建立空间直角坐标系A—xyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．图418【思路探究】　解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．【自主解答】　点C1的直角坐标为(1,1,1)，设点C1的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由公式及得及得及结合图形得θ＝，由cosφ＝得ta