《4.1.3 球坐标系与柱坐标系》习题

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1、1．把下列各点的球坐标化为直角坐标：(1)M；(2)N；(3)P.【解】　(1)设点M的直角坐标为(x，y，z)，M在xOy平面内的射影为M′，则OM′＝2sin＝2.于是x＝2cos＝1，y＝2sin＝，z＝2cos＝0.故点M的直角坐标为(1，，0)．(2)x＝5sincos＝0，y＝5sinsin＝，z＝5cos＝－，点N的直角坐标为.(3)x＝9sincos＝－，y＝9sinsin＝，z＝9cos＝－.∴点P的直角坐标为.2．把下列各点的柱坐标化为直角坐标：(1)Q；(2)R；(3)S.【解】　(

2、1)x＝0，y＝5，故点Q的直角坐标为Q(0，5，－2)．(2)x＝6cos＝－3，y＝6sin＝3，故点R的直角坐标为R(－3，3，4)．(3)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝－4，故点S的直角坐标为S(－4，－4，－3)．3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的边长为AB＝14，AD＝6，AA1＝10，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．【解】　如图，C1点的直角坐标(x，y，z)分

3、别对应着CD、BC、CC1；C1点的柱坐标(ρ，θ，z)分别对应着CA、∠BAC、CC1；C1点的球坐标(r，θ，φ)分别对应着AC1、∠BAC、∠A1AC1.C1点的空间直角坐标为(14，6，10)，C1点的柱坐标为(其中tanθ＝)，C1点的球坐标为(2，φ，θ)(其中cosφ＝，tanθ＝)．4．在球坐标面内，方程r＝1表示空间中的什么曲面？方程θ＝表示空间中的什么曲面？【解】　方程r＝1表示球心在原点的单位球面；方程θ＝表示顶点在原点，半顶角为的圆锥面，中心轴为z轴．5．在球坐标系中，求两点P，Q

4、的距离．【解】　将P，Q两点球坐标转化为直角坐标：P：x＝3sin·cos＝，y＝3sin·sin＝，z＝3cos＝，∴P点的直角坐标为.Q：x＝3sin·cos＝－，y＝3sin·sin＝，z＝3cos＝，∴Q点的直角坐标为.∴

5、PQ

6、＝＝，即P、Q的距离为.6．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标．【解】　以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在面BCD上建立极坐标系．过O点与面BCD垂直的线为z轴．过A作AA′垂直于平面BCD，垂足为A′，则B

7、A′＝×＝，AA′＝＝，∠A′Bx＝－＝，则A(，，)，B(0，0，0)，C(3，，0)，D(3，，0)．7．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200m，每相邻两排的间距为1m，每层看台的高度为0.7m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来．【解】　以圆形体育馆中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz

8、的距离为203m，极轴Ox按逆时针方向旋转×＝，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8m，因此点A的柱坐标为(203，，2.8)．教师备选8．如图建立球坐标系，正四面体ABCD的边长为1，求A、B、C、D的球坐标(其中O是△BCD的中心)．【解】　∵O是△BCD的中心，∴OC＝OD＝OB＝，AO＝.∴C(，，0)，D(，，)，B(，，)，A(，0，0)．