球坐标系与柱坐标系

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1、阶阶段段一三4.1.3球坐标系与柱坐标系学业阶分段层二测评上一页返回首页下一页1．球坐标系、柱坐标系的理解．2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化．上一页返回首页下一页[基础·初探]1．球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．上一页返回首页下一页(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.图4•1•5上一页返

2、回首页下一页2．直角坐标与球坐标间的关系若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4•1•6所示．2222x＋y＋z＝r，x＝rsinθcosφ，y＝rsinθsinφ，图4•1•6z＝rcosθ.上一页返回首页下一页3．柱坐标系建立了空间直角坐标系O•xyz后，设P为空间中任意一点，它在xOy平面上的射影为Q，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面xOy上的极坐标，这时点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，把建立上述对应关系的坐标

3、系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.4．直角坐标与柱坐标之间的关系x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z.图4•1•7上一页返回首页下一页[思考·探究]1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成．上一页返回首

4、页下一页2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z＝z0分别表示什么图形？【提示】在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面．方程z＝z0表示平行于xOy坐标面的平面，如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．上一页返回首页下一页[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨

5、交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________上一页返回首页下一页将点的柱坐标或球坐标化为直角坐标3π3π(1)已知点M的球坐标为2，，，则点M的直角坐标为________．4

6、4π(2)设点M的柱坐标为2，，7，则点M的直角坐标为________．6上一页返回首页下一页【自主解答】(1)设M(x，y，z)，3π3π则x＝2sin·cos＝－1，443π3πy＝2×sin×sin＝1，443πz＝2×cos＝－2.4即M点坐标为(－1,1，－2)．上一页返回首页下一页(2)设M(x，y，z)，π则x＝2×cos＝3，6πy＝2×sin＝1，z＝7.6即M点坐标为(3，1,7)．【答案】(1)(－1,1，－2)(2)(3，1,7)上一页返回首页下一页[再练一题]π1．(1)已知点P的柱坐标为4，，8，则它的直角坐标为________．33π

7、π(2)已知点P的球坐标为4，，，则它的直角坐标为________．44【解析】(1)由变换公式得：πx＝4cos＝2，3πy＝4sin＝23，z＝8.3∴点P的直角坐标为(2,23，8)．上一页返回首页下一页(2)由变换公式得：3ππx＝rsinθcosφ＝4sincos＝2，443ππy＝rsinθsinφ＝4sinsin＝2，443πz＝rcosθ＝4cos＝－22.4∴它的直角坐标为(2,2