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《高中数学 4.1 坐标系 4.1.3 球坐标系与柱坐标系同步测控 苏教版选修4-4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.1.3球坐标系与柱坐标系同步测控我夯基，我达标1.设点M的直角坐标为（-1，，3），则它的柱坐标是（）A.（2，，3）B.（2，，3）C.（2，，3）D.（2，，3）解析：∵ρ==2，θ=，z=3,∴M的柱坐标为（2，，3）.答案：C2.设点M的直角坐标为（-1，-1，），则它的球坐标为（）A.（2，，）B.（2，，）C.（2，，）D.（2，，）解析：由坐标变换公式，得r==2,cosθ==,∴θ=.tanφ==-=1,∴φ=.∴M的球坐标为（2，，）.答案：B3.已知点M的球坐标为（4，，），则它的直角坐标为_____________
2、_，它的柱坐标是______________.解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标.答案：（-2，2，2）（2，，2）.4.设点M的柱坐标为（2，，7），则它的直角坐标为______________.解析：∵ρ=2,θ=,z=7,∴x=ρcosθ=2cos=,y=ρsinθ=2sin=1.∴点M的直角坐标为（，1，7）.答案：（，1，7）5.在球坐标系中，方程r=1表示，方程θ=表示空间的______________.解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状.答案：球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，轴截面顶角为,中心轴为z轴的圆锥
3、面6.设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为（R，45°，70°），点B的坐标为（R，45°，160°），求A、B两点的球面距离.思路分析：要求A、B两点间球面距离，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度数，AB的长度，就可求球面距离.解：如图，由点A、B的球坐标可知，∠BOO′=45°，∠AOO′=45°，这两个点都在北纬90°-45°=45°圈上.设纬度圈的圆心为O′，地球中心为O，则∠xOQ=70°,∠xOH=160°，∴∠AO′B=160°-70°=90°.∵OB=R，∴O′B=O′A=R.∴AB=R.则AO=BO=
4、AB=R.∴∠AOB=60°.∴=·2πR=R.即A、B两点间的球面距离为R.我综合，我发展7.已知点P的柱坐标为（，，5），点B的球坐标为（，，），则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为（）A.P点（5，1，1），B点（，，）B.P点（1，1，5），B点（，，）C.P点（，，），B点（1，1，5）D.P点（1，1，5），B点（，，）解析：此题考查空间直角坐标系与空间柱坐标系、球坐标系的互化.只要我们记住互化公式,问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为柱坐标与直角坐标的互化公式为设P点的直角坐标为(x,y,z),则x=cos=×
5、=1,y=sin=1,z=5.设B点的直角坐标为(x,y,z),则x=sincos=××=,y=sinsin=××=,z=cos=×=.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为(,,).选B.答案：B8.如图，在柱坐标系中，长方体ABCO-A1B1C1O1的一顶点在原点,另两个顶点坐标为A1（4，0，5），C1（6，，5），则此长方体外接球的体积为______________.解析：由顶点的柱坐标求出长方体的三边长,其外接球的直径恰为长方体的对角线长.由长方体的两个顶点坐标A1(4,0,5),C1(6,,5),可知OA=4,OC
6、=6,OO1=5.则对角线长为.那么球的体积为·π·()3=.答案：9.用两平行平面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A（25，arctan，θA）、B（25，π-arctan,θB）,求出这两个截面间的距离.思路分析：根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO2中求出OO1及OO2的长度,从而可得两个截面间的距离O1O2.解：由已知,OA=OB=25,∠AOO1=arctan,∠BOO1=π-arctan,即在△AOO1中,tan∠AOO1==；在△BOO2中,∠BOO2=arctan,
7、tan∠BOO2==.∵OA=25,∴OO1=7；又∵OB=25,∴OO2=20.则O1O2=OO1+OO2=7+20=27，即两个截面间的距离O1O2为27.10.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线OX为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A（R，，）、B（R，，），从A到B，飞机应该走怎样的航线最短，其最短航程为多少？思路分析：我们根据A、B两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走A、B两地的大圆时,航线最短,所走的航程实际上是求过A、B两地的球面距离.解：如图所示,因为A
8、(R,,),B(R,,),可知∠AOO1=∠BOO1=.又∠xOC=,∠xOD=,∴∠COD=-=.∴∠AO1B=∠COD=.在Rt△OO1B中,∠O1OB=,OB=R,∴O1B
