江苏专用版2018-2019学年高中数学4.1.1直角坐标系学案苏教版选修

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1、4.1.1 直角坐标系1.掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用.2.对具体问题,能建立适当的坐标系,使所刻画的代数形式具有更简便的结果.[基础·初探]1.直线坐标系在直线上,取一个点为原点,并确定一个长度单位和直线的方向,就建立了直线上的坐标系,即数轴.数轴上任意一点P都可以由惟一的实数x确定,x称为点P的坐标.2.平面直角坐标系在平面上,取两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定一个长度单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系.平面上任意一点P都可以由惟一的有序实数对(x,

2、y)确定,(x,y)称为点P的坐标.3.空间直角坐标系在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,取这三条直线的交点为原点,并确定一个长度单位和这三条直线的方向,就建立了空间直角坐标系.空间中任意一点P都可以由惟一的三元有序实数组(x,y,z)确定,(x,y,z)称为点P的坐标.[思考·探究]1.建立适当的坐标系一般有哪些规则?【提示】 (1)如果图形有对称中心,可以选择对称中心为坐标原点;(2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴;(3)使图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上.2.由坐标(x,y

3、)怎样确定点的位置?【提示】 在平面直角坐标系中,分别过点M(x,0),N(0,y)作x轴和y轴的垂线,两条直线的交点P即(x,y)所确定的点.[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_____________________________________________________解惑:_____________________________________________________疑问2:_____________________________

4、________________________解惑:_____________________________________________________疑问3:_____________________________________________________解惑:_____________________________________________________建立适当的坐标系刻画点的位置 正方形的边长等于4,试选择适当的坐标系,表示其顶点与中心的坐标.【自主解答】  法一 以正

5、方形的一个顶点为原点,两条邻边为坐标轴,且把第四个顶点放在第一象限,建立平面直角坐标系,如图(1)所示.此时,其四个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4),中心为M(2,2).法二 以正方形的中心为原点,且使两条坐标轴平行于正方形的边,建立平面直角坐标系,如图(2)所示.此时,正方形的顶点坐标分别为A(2,-2)、B(2,2)、C(-2,2)、D(-2,-2),中心为O(0,0).法三 以正方形的两条对角线为坐标轴建立直角坐标系,如图(3)所示.此时,正方形的顶点坐标分

6、别为A(2,0)、B(0,2)、C(-2,0)、D(0,-2),中心为O(0,0).(作图时只要以图(2)中的原点O为圆心,OA为半径作圆,该圆与坐标轴的四个交点即是图(3)中正方形的各个顶点)[再练一题]1.选择适当的坐标系,表示两条直角边长都为1的直角三角形的三个顶点的坐标.【导学号:98990000】【解】 法一 以直角三角形的两条直角边AC、BC所在直线分别为x轴、y轴,建立如图(1)所示的平面直角坐标系,则C(0,0),A(1,0),B(0,1).法二 以斜边AB所在直线为x轴,线段AB的中

7、垂线为y轴,建立如图(2)所示的平面直角坐标系.则A(-,0),B(,0),C(0,).建立坐标系解决证明问题 用解析法证明:等腰三角形底边延长线上一点,到两腰的距离之差等于一腰上的高.【自主解答】  如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC延长线上一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F,以BC所在直线为x轴,以BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系,如图所示,设A(0,b),B(-a,0),C(a,0)(a>0,b>0),则直线AB的方程为bx-ay+ab=0,直线AC的方程为bx+ay-

8、ab=0,取P(x0,0),使x0>a,则点P到直线AB、AC的距离分别为PD==,PE==.点C到直线AB的距离为CF==,则PD-PE==CF.故所需证明命题成立.[再练一题]2.已知△ABC中,AB=AC,BD、CE分别为两腰上的高,求证:BD=CE.【证明】 如图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.设B(-a,0),C(a,0),A(0,h).则直线AC的方程为y=-x+h,即:hx+ay-ah=0.直线AB的方程为

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