上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题（含答案解析）

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上海市复旦附中2018-2019学年高一（上）期中数学模拟试卷一．填空题（共12小题，满分54分）1.若实数a满足：a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为_____．【答案】{﹣1，﹣2，2，0}【解析】【分析】由∈{1，4，a}，得到=1或=4，或=，由此求出实数的取值，根据互异性验证后可得所求集合．【详解】∵实数满足：∈{1，4，}，∴=1或=4，或=a，解得=﹣2或=2或=﹣1或=1或=0，当=1时，集合为{1，4，1}，不合题意；当=﹣1，或=±2，或=0时，满足题意．∴实数的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为：{﹣1，﹣2，2，0}．【点睛】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，对得到的结果要进行验证，注意集合中元素性质的合理运用．2.函数的定义域为_____．【答案】[﹣2，3）【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0和对数的真数大于0得到关于变量的不等式组，解不等式组后可得定义域．【详解】由题意得，解得．∴函数的定义域为：[﹣2，3）．故答案为：[﹣2，3）．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是构造关于自变量的的不等式（组），是基础题．3.命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0” 【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.4.函数y=+2的单调区间是_____．【答案】（﹣∞，0）和（0，+∞）【解析】【分析】求出函数的定义域，利用反比例函数的单调性可求得答案．【详解】由题意得函数的定义域为，又函数在和上单调递减，所以函数的单调减区间是和．故答案为：（∞，0）和（0，+∞）．【点睛】本题考查函数单调区间的求法，属于基础题，熟练掌握常见基本函数的单调性是解题的基础，同时还应注意函数的单调区间不能并在一起．5.已知为定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________．【答案】【解析】设，则由已知当时，，当时，可得6.已知符号函数sgn（x），则函数f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零点构成的集合为_____．【答案】【解析】【分析】根据的取值进行分类讨论，得到等价函数后分别求出其零点，然后可得所求集合． 【详解】①当x＞0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x=1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即当x＞0时，函数f（x）的零点是；②当x=0时，函数f（x）=0，故函数f（x）的零点是0；③当x＜0时，函数f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=，即当x＜0时，函数f（x）的零点是．综上可得函数f（x）=sgn（x）﹣x的零点的集合为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数零点的求法，解题的关键是根据题意得到函数的解析式，考查转化思想、分类讨论思想，是基础题．7.函数的值域为_______.【答案】【解析】由指数函数的性质可知：，据此可知：，函数的值域为.8.已知a＞0，b＞0，则的最小值为_____．【答案】4【解析】【分析】由题意构造出基本不等式的形式，然后根据基本不等式求解即可．【详解】由题意得，∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值为4．故答案为：4．【点睛】应用基本不等式求最值时，需要注意使用的条件，即“一正、二定、三相等”，若不满足此条件，则要通过“拼、凑”等方法进行变形，使得满足所需条件．本题考查“构造思想”与基本不等式的运用，属于基础题．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____【答案】{1，2，4}【解析】【分析】根据并集与交集的定义计算即可．【详解】∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x|﹣1≤x≤5，x∈R}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故答案为：{1，2，4}．【点睛】本题考查交集与并集的运算，解题时根据集合运算的定义求解即可，是基础题．10.若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x的取值范围_____．【答案】（﹣∞，2）【解析】【分析】根据y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数可由f（x）＜f（2x﹣2）得到x＞2x﹣2，解不等式可得x的取值范围．【详解】∵f（x）＜f（2x﹣2），且y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，∴x＞2x﹣2，解得x＜2．∴x的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．【点睛】本题考查函数单调性的应用及一元一次不等式的解法，解题时注意转化思想方法的运用，属于简单题． 11.若函数，则_____．【答案】1【解析】【分析】根据函数的解析式可推导出f（5）=f（3）=f（1），由此可得所求结果．【详解】由题意得．故答案为：1．【点睛】本题考查求分段函数的函数值和运算求解能力，解题的关键是分清自变量所在的范围，然后代入求值，属于基础题．12.定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号）【答案】①③【解析】【分析】弄清开集的定义是解决本题的关键，解答本题时根据新定义进行计算后判断，即所选的集合需要满足：存在以该集合内任意点为圆心、以正实数为半径的圆，且圆的内部均在该集合内．【详解】对于①，集合A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故①不是开集．对于②，集合A={（x，y）|x+y+2＞0}，对于A中的任一点（x0，y0），设该点到直线x+y+2=0的距离为d，取r=d，则满足，故②是开集．对于③，集合A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故该集合不是开集．对于④，集合A=表示以点为圆心，以1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足 ，故该集合是开集．综上可得①③中的集合不是开集．故答案为：①③．【点睛】本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息、解决问题的能力，正确理解开集的定义是解决本题的关键．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的（　　）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3由x2﹣x﹣6＜0，得﹣2＜x＜3．因为Ü，所以“1＜x＜3”是“﹣2＜x＜3”的充分不必要条件，即“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件．故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，解题时可转化为两集合间的包含关系求解，根据不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．14.已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，则以下排列正确的是（　　）A.x1＜x2＜x3B.x1＜x3＜x2C.x3＜x1＜x2D.x2＜x3＜x1【答案】B【解析】【分析】将函数的零点看作两函数图象交点的横坐标，画出函数的图象，利用数形结合，判断出函数的零点的大小即可．【详解】函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，在坐标系中画出y=3x，y=log3x，y=sinx与y=﹣x的图象，如下图所示： 由图形可知x1＜0，x2＞0，x3=0，所以x1＜x3＜x2．故选B．【点睛】求函数零点的常用方法有：（1）解函数对应的方程，得到函数的零点；（2）将函数的零点转化为两函数图象的交点的横坐标，画出函数的图象，根据数形结合求解．15.已知非空集合M满足：若x∈M，则∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于（）A.0B.1C.－1D.不确定【答案】C【解析】试题分析：依题意，得当4∈M时，有，从而，，于是集合M的元素只有4，，所有元素之积等于4×（）×=-1考点：元素与集合关系的判断16.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是（　　）A.f（x）的图象关于x=1对称B.f（x）的最大值与最小值之和为2C.方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D.当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1【答案】C【解析】【分析】 根据函数为奇函数和x∈[0，1）时的解析式，可求出当x∈（﹣1，0]时函数的解析式，再根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，再画出y=lg|x|的图象，结合图象对四个选项作出判断即可．【详解】由函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得．又当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，所以，当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈[0，1），则f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），∴．又f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数．画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，对于A，结合图象可得函数f（x）的图象无对称轴，所以A不正确．对于B，由图象可得，函数f（x）没有最大值和最小值，所以B不正确．对于C，结合图象可得当x＞0时，函数y=f（x）与y=lg|x|的图象有4个交点，当x＜0时，函数y=f（x）与y=lg|x|的图象有6个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根．所以C正确．对于D，当x∈[2，3)时，x﹣2∈[0，1)，所以．故D不正确．故选C．【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性，以及函数零点个数的判断，考查转化能力和运算能力，解题时借助函数的图象求解是关键，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分76分）17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足x2－x－6≤0.(1)若a＝1，p且q为真，求实数x的取值范围；(2)若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】 （1）先求出关于p，q的a的范围，根据当p且q为真，即可得出实数x的取值范围是（2，3）．（2）根据¬q是¬p的充分不必要条件，利用集合间的包含关系，解得实数a的取值范围．【详解】(1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的范围是1＜x＜3；由q为真时，实数x的范围是－2≤x≤3，若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(1,3)．(2)¬p：x≤a或x≥3a，¬q：x＜－2或x＞3，由¬q是¬p的充分不必要条件，有得0＜a≤1，显然此时¬p¬q，即a的取值范围为(0,1]．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，（Ⅰ）试求f（﹣2）的值；（Ⅱ）指出f（x）的单调递增区间（直接写出结论即可）；（Ⅲ）求出f（x）的零点．【答案】（1）；（2）（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）；（3）和.【解析】【分析】（Ⅰ）利用函数的奇偶性以及函数的解析式可求得f（﹣2）的值；（Ⅱ）利用函数的奇偶性以及分段函数的解析式可写出f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）把函数f（x）的零点转化为方程的根，解方程可得函数的零点．【详解】（Ⅰ）∵函数为奇函数，∴．（Ⅱ）当x＞0时，函数在（3，+∞）上单调递增，又函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴函数y=f（x）在（﹣∞，﹣3）上也单调递增， ∴函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）.（Ⅲ）当时，由，得，解得，∴是函数的零点．又函数为奇函数，∴也为函数的零点．综上可得函数的零点为和．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性的应用、分段函数函数值的求法以及函数的零点的求法，解题时注意函数图象对称性的应用，考查计算能力和转化应用的能力，属于基础题．19.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据“零点分段法”分为，，三种情形，分别解出不等式，再取并集即可；（2）法一：对恒成立等价于对恒成立，利用绝对值三角不等式，求得取得最小值，即可求得的取值范围；法二：设，则，根据绝对值三角不等式求得得最小值，从而求得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为.（2）法一：由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值.所以当时，取得最小值， 故，即的取值范围为.法二：设，则，当时，取得最小值，所以当时，取得最小值，故时，即的取值范围为.点睛：含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.20.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．【答案】（1）0；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f(－x)和f(x)的关系；（3）先利用f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2得到f(x－1)<2⇔f(|x－1|)