湖南省衡阳市2019届高三下学期第一次联考数学（理）试题（解析版）

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1、衡阳市2019届高三第一次联考试卷数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.（改编题）已知集合，若，则（）A．B．C．D．2.（原创题）已知命题：；命题：，则命题，，中，真命题的个数为（）A．B．C．D．3.（原创题）若双曲线的离心率为2,则其渐近线方程为（）A．B．C．D．4.（调用题）下图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（）A．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大B．2000年以来我国实际

2、利用外资规模与年份呈负相关C．2010年我国实际利用外资同比增速最大D．2008年我国实际利用外资同比增速最大5.（改编题）若实数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．6.（改编题）已知函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为，则函数图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．7.（改编题）设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为（）A．B．C．D．8.（调用题）若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．9.（原创题）已知抛物线：的焦点为，过的直线与交于两点，且线段中点的纵坐

3、标为，为坐标原点，则的面积为（）A．B．C．D．10.（改编题）若函数上存在两个不同点关于原点对称，则称两点为一对“优美点”，记作,规定和是同一对“优美点”.已知，则函数上共存在“优美点”()A.14对B.3对C.5对D.7对11.（改编题）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．12.（改编题）已知数列满足：，其中为的前项和.若对任意的均有恒成立，则的最大整数值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.（改编题）已知为圆

4、上三点，且，则．14.（改编题）二项式的展开式中，第三项的系数为，则=．15.（改编题）将三位老师分配到4户贫困家庭实施精准帮扶，若每位老师只去一户，每户家庭最多去2人，则不同的分配方法有种（用数字作答）.16.（改编题）已知函数，，若对任意,总有或成立，则实数的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必做题（共60分）17.（改编题）（本小题满分12分）在中，分别是角的对边，，，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求内切圆的半径.18.（原创题）（本小题满分12分）如图，

5、平面四边形中，为上一点，和均为等边三角形，，分别是和的中点，将四边形沿向上翻折至四边形的位置，使二面角为直二面角，如图所示.（1）求证//平面；（2）求平面与平面所成角的正弦值.19.（调用题）（本小题满分12分）近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物门科目中自选门参加考试（选），每科目满分分.为了应对新高考，某高中从高一年级名学生（其中男生人，女生人

6、）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.（1）已知抽取的名学生中含男生人，求的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表.请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出名女生，再从这名女生中抽取人，设这人中选择“地理”的人数为，求的

7、分布列及期望.选择“物理”选择“地理”总计男生女生总计附：，.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.82820.（原创题）（本小题满分12分）已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点，点满足.（1）当的倾斜角为时，求直线的方程；（2）试探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由.21.（原创题）（本小题满分12分）已知函数.（1）若在上有唯一极大值点，求实数的取值范围；（2）若，，且，求证：.（二）选做题（共10分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果

8、多做，则按所做的第一题记分.22.（改编题）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线，.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线与直线