中国特级教师高考复习方法指导---高考数学难点系列41讲【全国通用】33-41

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1、难点33函数的连续及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起•在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的乂一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.•难点磁场(兀<-1)(-1

2、◎补充定义，使其是R上的连续函数.命题意图：函数的连续性，尤英是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图彖公直观反映题冃中的连续性问题也就成为一种最重要的方法.知识依托：木题是分式函数，所以解答木题的闪光点是能准确曲出它的图象.错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答.解：(1)当x+2工()时，有兀工一2因此，函数的定义域是(一8,—2)U(—2,+g)兀2

3、_4当兀工一2时，——=x-2,x+2具图象如上图(2)由定义域知，函数/(X)的不连续点是x()=-2.⑶因为当xH—2时，2,所以lim=lim(x-2)=—4.a->-2xt—2(xh-2)(x=-2)兀2_4因此，将ZU)的表达式改写为fM=0,/?>0)至少有一个正根，且它不大于a+b.命题意图：耍判定方程.心)=0是否有实根.即判定对应的连续函数)吋仗)的图象是否与x轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图

4、象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正.错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题冃中的简便作用.证明：设/U）=asiru+b—x,则/（O）=b>（V（d+b）=a•sin（a+b）+b—（d+b）=d[sin（a+b）—1]WO,乂./U）在（O,d+b]内是连续函数，所以存在一个x°W（O,d+b],使/Uo）=O,即丸是方程心）=0的根，也就

5、是方程x=d•sinx+b的根.因此，方程x=asinx+b至少存在一个正根，且它不人于a+h.•锦囊妙计1•深刻理解函数/U）在X0处连续的概念：等式liin/（x）h（xo）的涵义是：⑴心））在*丸处有定义，即.心））存在；（2）亦几0存在，这里隐含着/«在点xn（）附近有定义；（3爪）在点勿处的极限值等于这一点的函数值，即limfM=f（x（｝）.函数yw在也处连续，反映在图象上是/U）的图象在点尤=必处是不间断的.2.函数7U）在点必不连续，就是几r）的图象在点4X0处是间断的.其情形：⑴lim/

6、W存在泓兀。）存在，但lim/U）H/Uo）；（2）lim沧）存在，但几切）不存在•⑶X~>A（）X->X0lim/（兀）不存在•Af03.由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数/U）在其定义区间内是连续的，点兀（）是定义区间内的一点，那么求x-xo时函数沧）的极限，只要求岀/⑴在点Xo处的函数值/Uo）就可以了，即lim«/W=i/Uo）.Xf°•歼灭难点训练一、选择题】.（★★★★）若张）=―-在点x=Q处连续，则/（0）等于（）V1+X-13?A.-B.-C.lD.023x0

7、c<1x=则/(x)的连续区间为()21l0A.((),2)C.(0,1)U(1,2)二、填空题xti4arctanx1_Vl~x〈(★★★★)若/(x)hxa+bx三、解答题1("0)(-v=0)2：-1★★)已知函数丄2X+11（iyu）在*0处是否连续？说明理由；⑵讨论/U）在闭区间［—1,0］和［0,1］上的连续性.(x<0)\—x&.(★★★★)已知f(x)=0)⑴求n—X）;（2）求常数a的值，使yu）在区间（

8、一8,+°°）内处处连续.★★）求证任何一个实系数一元三次方程如?+。］<+°2兀+。3二0@（）,01,。2,。30&。0工0）至少有一个实数根.&(★★★★)求函数/U)=<1log2(^-—)（x<）的不连续点和连续区间.（兀〉1）参考答案难点磁场解：（l）lim/W=3,lim./W=—1,所以lim/W不存在，所以f（x）&x=—1处不连续,x->-l~兀一>一广X->-1但lim^M-D=-Llim/WWA—1）