椭圆的标准方程及性质

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1、椭圆的标准方程及性质1．椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹，即点集M={P

2、

3、PF1

4、+

5、PF2

6、=2a，2a＞

7、F1F2

8、}；（时为线段，无轨迹）.其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距.(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P

9、，0＜e＜1的常数.2．标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；焦点F1（－c，0），F2（c，0）.其中（2）焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；焦点F1（0，－c），

10、F2（0，c）.其中3.椭圆一般方程两种标准方程可用统一形式表示：Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便.4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，6：椭圆与的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长长轴长=，短轴长=离心率准线

11、方程焦半径，，7．性质：对于椭圆（a＞b＞0）如下性质必须熟练掌握：41.范围；②对称轴、对称中心；③顶点；④焦点、焦距；⑤准线方程；⑥离心率.焦半径.2.焦准距；两准线间的距离；通径长.半通径.3.最大角4.8.点与椭圆的位置关系:当时,点在椭圆外;当时,点在椭圆内;当时,点在椭圆上;9.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离10.弦长公式11．对椭圆方程作三角换元可得椭圆的参数方程：，为参数．12．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：413对椭圆：，则kAB=．第三章：

12、直线与方程的知识点倾斜角与斜率1.当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.则直线l的倾斜角的范围是.2.倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即.如果知道直线上两点，则有斜率公式.特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合.当α=90°时，斜率k=0；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大；当时

13、，斜率，随着α的增大，斜率k也增大.这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1.对于两条不重合的直线、，其斜率分别为、，有：（1）Û；（2）Û.2.特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；….直线的点斜式方程1.点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为.2.斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.3.点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线.若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时

14、的直线方程为，或.4.注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.直线的两点式方程1.两点式：直线经过两点，其方程为，2.截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.3.两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4.线段中点坐标公式.直线的一般式方程1.一般式：，注意A、B不同时为0.直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.2.与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为.3.已知直线的方程分别是：（不同时为0）

15、，（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）；（2）；4（3）与重合；（4）与相交.如果时，则；与重合；与相交.两条直线的交点坐标1.一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2.方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是与的交点.两点间的距离1.平面内两点，，则两点间的距离为：.特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与

16、y轴平行时，；点到直线的距离及两平行线距离1.点到直线的距离公式为.2.利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即.这时点到直线的距离为4