椭圆的标准方程及简单几何性质

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1、椭圆的标准方程及简单几何性质椭圆1、椭圆的标准方程椭圆的一般方程椭圆的参数方程2、第一定义（文字语言）符号语言平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆这两个定点，叫做椭圆的焦点,两焦点之间的距离叫做焦距3、第二定义（文字语言）F1xyF2oyxF1F2o符号语言4、图形（顶点坐标）（焦点坐标）（椭圆的焦距）5、范围6、对称轴（对称中心）7、离心率8、准线方程9、焦半径10、焦点弦11、焦点三角形的面积（公式）1、2、3、12、通径：（过焦点且垂直于对称轴的相交弦）13、离心率相同的椭圆

2、方程14、焦点坐标相同的椭圆方程15、共渐近线的方程10典型例题分析题型一、椭圆的方程例1、已知椭圆：长半轴短半轴焦距焦点坐标若是椭圆上一点，且，则例2、已知椭圆经过两点（，求椭圆的标准方程题型二、椭圆的定义例1、已知圆：和定点动圆过点且与圆内切，求圆的圆心轨迹例2、已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程例3、已知椭圆：右焦点为，，是椭圆上动点，⑴求的最小值，并求此时P点的坐标。⑵求的最小值。题型三、（中点弦问题）例1、若焦点坐标为的椭圆与直线相交所得的弦中点的横坐标是，

3、则此椭圆的标准方程是（）(A)(B)(C)(D)例2、已知过点A(－1，1)的直线与椭圆＋＝1交于点B、C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时,求弦BC中点M的轨迹方程．10题型四、(离心率问题)例1、设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．例2、椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）例3、已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭

4、圆的离心率的取值范围为．思考题:已知椭圆的左右焦点为，若存在动点，满足，且的面积等于，则椭圆离心率的取值范围是.题型五、（最值问题）例1、已知椭圆，直线：，求椭圆上一点到直线的距离最小值与最大值.例2、已知椭圆：上一点为，，求的最小值。例3、若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为思考题:已知点是椭圆上的一动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．10题型六（焦点三角形）例11、、是椭圆C：的焦点，为椭圆上一点，(1

5、)在C上满足的点的个数为；(2)若的面积；（3）求的最大值例12、、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值题型七、（综合问题、知识交汇点命题）例1、【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边

6、形MPNQ面积的取值范围.例2、【2015高考北京，理19】已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．.例3、【2016年高考四川理数】已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T.（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，

7、且与直线l交于点P．证明：存在常数，使得，并求的值.10例2、解：设椭圆的标准方程则有，解得所以，所求椭圆的标准方程为例3、【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，因为，，所以==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值思考题:已知点是椭圆上的一动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．思考题:【答案】Ｂ【解析】试题分析：如图，延长，交与点，连接，∵是平分线，且可得，∴，为中点，∵为中点，为中点，∴，设点坐标为，∵在

8、椭圆中，离心率，由圆锥曲线的统一定义，得，∴，∵点在椭圆上，∴，又∵，可得，∴，故答案选B．例8、解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等而

9、FA

10、＝

11、PF

12、∈[a－c,a＋c]于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴Þ又e∈(0,1)故e∈例9、【答案】解：因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即设点由焦点半径公式，得,则记由椭圆的几何性质知，整理得解得，故椭圆的