椭圆标准方程及几何性质.ppt

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1、5.2椭圆第一节椭圆的标准方程2008年9月25日晚21时10分04秒，“神舟七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，实现了太空行走，标志着我国航天事业又上了一个新台阶。生活中的椭圆数学实验：新课讲解结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该如何定义椭圆？思考：F1F2MF1F2M平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于

2、F1F2

3、）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。1、椭圆的定义如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：P={M

4、

5、MF

6、1

7、+

8、MF2

9、=2a（2a>2c）}平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于

10、F1F2

11、）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。（1）平面曲线（2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a（3）定长﹥

12、F1F2

13、(2a>2c)理解：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？动点M的轨迹：线段F1F2.MF1F2动点M的轨迹：不存在.时，即a=c时当2121FFMFMF=+时，即a

14、程步骤五：完备性检验解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).（想一想：下面怎样化简？）由椭圆的定义，代入坐标OxyMF1F2则方程可化为观察左图，你能从中找出表示c、a的线段吗？即a2-c2有什么几何意义？（）焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMxF1（-c，0）、F2（c，0）F1（0，-c）、F2（0，c）注意理解以

15、下几点：①在椭圆的两种标准方程中，都有的要求；②在椭圆的两种标准方程中，由于，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；③椭圆的三个参数之间的关系是，其中大小不确定．思考：（1）将一个底面圆半径为5的圆柱沿与底面成600角作一个截面，截面为椭圆，求其标准方程。（2）椭圆的中心在点（m,n），标准方程式什么？分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。注意：1.下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？跟踪练习变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10

16、，结果如何？已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程当焦点在X轴时，方程为：当焦点在Y轴时，方程为：例1.椭圆两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P，求标准方程。解：法1：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为∵c=2，且c2=a2-b2∴4=a2-b2……①又∵椭圆经过点P∴……②联立①②可求得：∴椭圆的标准方程为xyF1F2P例题讲解法2：设它的标准方程为由椭圆的定义知，所以所求椭圆的标准方程为求椭圆标准方程的步骤：（1）先判断焦点的位置，设出标准方程；（先定位

17、）（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b.（后定量)1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=3,焦点在x轴；（2）a=5,c=2,焦点在y轴上．2．椭圆的焦距是，焦点坐标为；的弦，则的周长为．若CD为过左焦点跟踪练习分母哪个大，焦点就在哪个轴上标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标探究定义a、b、c的关系xyF1F2MOxyF1F2MOa2-c2=b2(a>b>0)P={M

18、

19、MF1

20、+

21、MF2

22、=2a（2a>2c）}．知识总结例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(

23、2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．一、求椭圆的标准方程例题讲解解：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．∴2a＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的方程为x225＋y29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)∴îïïíïïì4a2＋0b2＝10a2＋1b2＝1⇒îíìa2＝4，b2＝1.故所求椭圆的方程为y24＋x2＝1.1.根据下列条件，求椭圆