椭圆方程及几何性质

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1、椭圆方程及几何性质基础知识梳理1．椭圆的定义(1)平面内一点P与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹，即

4、PF1

5、＋

6、PF2

7、＝2a>

8、F1F2

9、若常数等于

10、F1F2

11、，则轨迹是线段F1F2.若常数小于

12、F1F2

13、，则轨迹不存在．注意：一定要注意椭圆定义中限制条件“大于

14、F1F2

15、”是否满足．(2)平面内点M与定点F的距离和它到定直线l的距离d的比是常数e(0

16、A1A2

17、＝2a，短轴

18、B1B2

19、＝2b，焦距

20、FF

21、＝2c，且满足a2＝b2＋c2.1

22、23．椭圆的几何性质{M

23、

24、MF1

25、＋

26、MF2

27、＝2a，(2a>

28、F1F2

29、)}条件{M

30、＝＝e(0b>0)(a>b>0)A1(0，－a)，顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，A2(0，a)，B1(0，－b)，B1(－b,0)，B2(b,0)对B称2(轴0，：b)，长轴长：，轴短轴长：x轴、y轴

31、A1A2

32、＝2a焦点

33、B1B2

34、＝2b准线方程F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦半径

35、MF1

36、＝a＋ex0，

37、MF1

38、＝a＋ey0，

39、MF2

40、＝a－ex0

41、MF2

42、＝a－ey0焦距离心率

43、F1F2

44、＝2c(c>0)，c2＝

45、a2－b2通径e＝(0n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．答案：充要2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________．3．(08年浙江)已知F1、F2为椭圆＝1(5>b>0)的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B点，若

46、F2A

47、＋

48、F2B

49、＝12，则

50、AB

51、＝________.解：由椭圆定义知

52、AF1

53、＋

54、AF2

55、＝2a，

56、BF1

57、＋

58、BF2

59、＝2a，所以

60、AF1

61、＋

62、BF1

63、＋

64、AF2

65、＋

66、BF2

67、＝4a，即

68、AB

69、＋

70、AF2

71、＋

72、BF

73、2

74、＝4a，∴

75、AB

76、＝4a－(

77、F2A

78、＋

79、F2B

80、)＝4×5－12＝8.4（2010全国卷）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则C的离心率为.2x25（2010湖北）:已知椭圆c:y12的两焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)满足2x020y01,则

81、PF1

82、+

83、PF2

84、的取值范围为2xx_______，直线0yy1与椭圆C的公02共点个数_____。考点一椭圆的定义及应用利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化，一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题．(09北京)

85、椭圆＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若

86、PF1

87、＝4，则

88、PF2

89、＝__；∠F1PF2的大小为____．【答案】2120°【点评】椭圆的定义具有鲜明的特点，即须是椭圆上的点与焦点的连线出现时，才会出现椭圆的定义，因此，能不能应用定义，也就应注意条件中是否出现椭圆上的点与焦点的连线这种条件．考点二椭圆中的最值问题22xy例2：求椭圆1上的动点P到其中43一个焦点F的距离的最大值和最小值。yPFx练习1：已知A(-1,1),B(1,0)22xy点P在椭圆1上运动，求43PA+2PB的最小值。练习2：求PA-PB的范围。练习3：求PA+PB的最大值。22xy练习4：求椭圆

90、1上43的动点P到直线yx3的距离的最小值。2x2例3：设P是椭圆y1在第一象限的4点，A(2,0)、B(0,1)，O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。yBPOAx练习（2008全国卷）设椭圆中心在坐标原点，点A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E,F两点。（Ⅰ）若ED6DF，求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．。小结：椭圆中最值问题的求解策略：总方针：建立目标函数（或目标不等式）具体方法：（1）转化成二次函数的最值问题。（2）利用三角换元，转化成三角函数的最值问题。（3）结

91、合圆锥曲线的定义，利用图形的几何特征求最值。（4）利用基本不等式放缩求最值。考点三椭圆的标准方程椭圆标准方程的求法(1)定义法；(2)待定系数法．若已知焦点的位置可惟一确定标准方程；若焦点位置不确定，可采用分类讨论法来确定方程的形式，也可以直接设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1，其中A，B为不相等的正常数或由已知条件设椭圆系(如＝λ，λ>0)来求解，以避免讨论和繁琐的计算．(2)由题意，可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，则有M(0，k)．设Q(