2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程学案（含解析）新人教B版选修2-1

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1、2.3.1　双曲线的标准方程学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一　双曲线的定义1．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

2、F1F2

3、且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．2．关于“小于

4、F1F2

5、”：①若将“小于

6、F1F2

7、”改为“等于

8、F1F2

9、”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于

10、F1F2

11、

12、”改为“大于

13、F1F2

14、”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．3．若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．4．若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．知识点二　双曲线的标准方程1．两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2＋b2＝c22.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的

15、系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．3．当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．4．标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝c2－a2要与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．1．在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同．(　×　)2．点A(1,0)，B(－1,0)，若

16、AC

17、－

18、BC

19、＝2，则点C的轨迹是双曲线．(　×　)3．双曲线－＝1的焦点在x轴上，且a>b.(　×　)4．平面内到两定点的

20、距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　×　)题型一　求双曲线的标准方程例1　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)．解　(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得∴双曲线的标准方程为－＝1.(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为－＝1.反思感悟　求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方

21、程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法．跟踪训练1　根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P，Q；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．解　(1)若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由于点P和Q在双曲线上，所以解得(舍去)．若焦点在y轴上，设双曲线

22、的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标分别代入可得解得所以双曲线的标准方程为－＝1.综上，双曲线的标准方程为－＝1.(2)依题意可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．则有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.题型二　双曲线定义的应用命题角度1　双曲线中的焦点三角形问题例2　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且

23、PF1

24、·

25、PF2

26、＝32，试求△F1PF2的面积．考点　双曲线的定义题点　双曲线定

27、义的应用与双曲线的焦点三角形解　双曲线的标准方程为－＝1，故a＝3，b＝4，c＝＝5.(1)由双曲线的定义得

28、

29、MF1

30、－

31、MF2

32、

33、＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则

34、16－x

35、＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将

36、PF2

37、－

38、PF1

39、＝2a＝6两边平方得

40、PF1

41、2＋

42、PF2

43、2－2

44、PF1

45、·

46、PF2

47、＝36，则

48、PF1

49、2＋

50、PF2

51、2＝36＋2

52、PF1

53、·

54、PF2

55、＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得

56、cos∠F1PF2＝＝＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)，所以∠F1PF2＝90°，故＝

57、PF1

58、·

59、PF2

60、＝×32＝16.引申探究将本例(2)中的条件“

61、PF1

62、·

63、PF2

64、＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积．解　由－＝1得a＝