题根研究抽象函数性质寻根

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1、题根研究抽象函数性质寻根一、抽象函数考场有约如果把用解析式定义的函数称为“具体函数”，那么，不用解析式而直接用性质定义的函数则可称为“抽象函数”.抽象函数在近年的考卷屮频频出现，如2007年天津卷第7题就是抽象函数的例子.【例1】在R上定义的函数/(x)是偶函数，K/(x)=/(2-x),若7(兀)在区间［1,2］上是减函数，则/(兀)A.在区间B.在区间C.在区间D.在区间[-2,-1][-2,-1][-2,-1]上是增函数,上是增函数,上是减函数,［-2,-1］上是减函数,在区间在区间在区间在区间上是增函数上是减函数上是增函数［3,4］上是减函数[3,4][3,4]

2、[3,4]【分析】习惯于川具体解析式研究函数性质的人，对用抽象定义的函数往往感到不习惯.其实直接川抽彖函数來解决函数问题，有时比用解析式还方便.本题就是这样的例子.【解答】B由函数是偶函数知函数的图像关于y轴对称，函数在区间［-2,-1］的单调性与在区间［1,2］的单调性相反，为增函数；由/(x)=/(2-x)知函数的图像关于直线兀=1对称，故函数在区间［3,4］上的单调性与在区间［-2,-1］上的单调性相反，为减函数，所以选B.【点评】本题以抽彖函数为载体考杳了函数图像和函数的性质.抽彖函数的解法通常采用“形彖法”——画图.按给出的性质画出符合性质的最简略图.如本题所

3、画的略图如下——宜线段示图——它符合题目给出的3条性质.【互动】抽象与形象互动.从函数略图上形象看到，这个函数是个周期函数，用函数的抽象性质证明如下：由f(x)=f(2-x)和f(7)二/⑴可以推得/(x)=/(2+X),由此可知/⑴是一个周期为2的周期函数的.从形彖上述门J看到，函数有无穷条对称轴兀=m伽GZ).因为0和x=I是它的对称轴,又函数的周期为2,故x=m都是它的对称轴.证明从略。【注意】对称性问题，要弄清：是一个函数木身的对称，还是两个函数的对称.如由f(a+x)=/(b-兀)得函数/(兀)的图像关于直线兀=对称,而函数y=/(a+x)h—a与y=f(h-

4、X)的图像关于直线X=于对称.二、抽象函数函数集合用性质定义的抽象函数，它往往不是一个具体的函数，有吋符合性质的函数是一类函数，或者说是一类函数的集合.如例1,符合给定的3条性质的函数除了简图中线段表示的函数外，还有没有其他的函数也含有这3条性质——我们继续研究例1.【例2】在R上定义的函数/(X)是偶函数,且/(x)=/(2-x),若7(力在区间［1,2］上是减函数，则函数/(兀)可能是：A.sinnxB.-sinnxC.cosxD.-cosnx【解答】D这4个函数的周期都是2•符合“偶函数”条件的只有C和D•而在区间［1,2］上递减的只有D.故答案为D.图像如下【探

5、究】例1中的函数/(X),除了上述两图像表示的具体函数以外，还有没有其他的函数呢？显然，这个隊I数集合中的“元索”——多到无穷.如以下解析式表示的函数都是：f(x)=-Acosnx+m,其中A为正数，〃7为任意实数.那么，这里的/(x)到底是个什么函数呢？请不要老是往统一的解析式上寻找.它是一个函数集合，我们可以川集合的描述法表示如2A={/(x)f(x)是R上偶函数,/(x)=/(2-x),/©)在区间［1,2］上递减}像这样的抽象函数还有：B={/⑴1/(7)=/(%))是偶函数的集合；C={/⑴1/(-x)=-/(兀)}是奇函数的集合;D={/(x)1/(x+y

6、)=/(x)+/(j')}^止比例函数的集合；E二{/(x)1/(凹)二•/◎)+/("}是一次函数的集合,等等.对这些抽象函数(集合)，随着其他条件(性质)的添加，则抽象函数逐步提出它们的“子集”或“元素”.如在D中，限制条件/(1)=-2,则得到此集合中的一个“元素”：f(x)=-2x.三、抽象函数用方程定义在7大数学思想中，人们把“函数方程思想”放在旨位，函数•方程本來就是一对挛牛兄弟.函数的解析式y=/(x)可视二元方程F(x,y)=0；反Z,对二元方程F(x,y),也可把y视作兀的函数.因此，函数不仅可用解析式定义，还可用方程或不等式定义.【例3】已知函数沧)

7、的定义域为R,对任意实数m,n都有•f(n),且当x>0时0l/⑴是R上的减惭数(III)设A={(x,刃l/(F)・/(/)>/(1)}，3={(x,y)f(ax-y+2)=若ACB二①，试确定实数Q的取值范围.【分析】这就是用方程和不等式定义的函数，按命题人思想，并不需要先求函数解析式(即使是已经知道这个函数是个指数函数)，而是用函数的性质直接解题.【解(I)】/(0)=/(0+0)=/(0)*/(0)=/2(0)即f(O)-f2(O)=