题根研究 数列 向递推寻根

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1、题根研究数列向递推寻根（1）一、数列与递推问：数列是函数吗？答：定义在自然数集上的函数，函数式为an=f(n)问：有何实际意义？答：数列的每个函数值，都按自然数序号排了座位，前后间的邻居关系非常清楚，知道了前面的一个数，就可知道它的后面数是谁.因此数列有“递推关系”：an+1=f(an).问：一般函数有这关系吗？答：没有！如一次函数y=x，你知道后的紧跟数是谁！ 二、等差与递比数列都是递推数列1、等差数列是递推数列【定义】一个数列{an}，如果从它的第2项开始，每项与它的前面一项的差等于一个常数d，即a2-a1=a3-a2=…=an+1-an=d则这个数列叫等差数列.【递推式】由等差数

2、列的定义，可得等差数列的递推式2、等差数列的通项公式在等差数列{an}的递推式中依次令k=1，2，…，n得n+1元n+1列方程组两边相边，消去a1，a2，…，an得an+1=a+nd或an=a+(n-1)d3、等比数列是递推数列【定义】一个数列{an}，如果从它的第2项开始，每项与它前面一项的比等于一个常数q，即则这个数列叫等比数列.【递推式】由等比数列的定义，可得等比数列的递推式4、等比数列的通项公式在等比数列的递推式中依次令k=1，2，…，n得n+1元n+1列方程组31两边相乘，消去b1，b2，…，bn，得bn+1=bqn或bn=bqn-1三、一次式递推an+1=kan+m研究函数

3、式时，我们是从简单的正比例函数、一次函数开始的.在这种启发下，我们想到了递推式中的“一次式”：an+1=kan+m（Ⅰ）非常凑巧，等差、等比数列正好是这种“一次式”的特殊情况.在递推式（Ⅰ）中：（1）k=1时，得等差数列an+1=an+m（2）m=0时，得等比数列an+1=kan如果k≠1（当然也不为0），m≠0呢？【例1】已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an-1求这个数列的通项公式和前n项和.【分析】递推公式是一个典型的“一次式”，我们考虑将其转化为等差或等比数列求解.【解答】an+1=2an-1an+1-1=2(an-1)令bn=an-1得bn+1=2bnbn=2n-1a

4、n=bn+1=2n-1+1（下略）【点评】一次递推数列an+1=2an-1通过转换，bn=an-1化为等比数列bn+1=2bn【例2】已知m≠0，k≠0，1，a1=a(>0)，an+1=kan+m，求数列{an}的通项公式.【分析】按例1的经验，转化到等比数列，关键在常数c匹配.【解答】设(an+1-c)=k(an-c)令c–kc=m，得令bn=an–c即四、等和数列与等积数列我们可以类比等差等比数列定义等和等积数列.【定义】等和数列等积数列【递推式】等和数列等积数列【说明】等和数列是一次递推数列an+1=kan+m在k=-1时的特殊形式.等积数列是反比例递推数列. 【例1】已知数列首

5、项a1=2，若an+an+1=3，求数列通项公式.【解答】由a1+a2=a2+a3=…=an+an+1得a1=a3=…=a2m-1=231a2=a4=…=a2m=1故数列的通项公式为【说明】等和数列一般形式为a1=a，an+an+1=m通项公式为等和数列一般为摆动数列，只当m=2a时，为常数列.【例2】已知数列首项b1=2【解答】由b1b2=b2b3=…=bnbn+1得b1=b3=…=b2m-1=2b2=b4=…=b2m=故数列的通项公式为【说明】等积数列一般形式为b1=bbnbn+1=p通项公式为等积数列一般为摆动数列，只当p=b2时，为常数列.题根研究数列向递推寻根（2）五、变差数

6、列与迭代法在等差数列{an}中，如果让公差d（常数）变动起来，由d变为dn，得数列我们可以称其为“变差”数列.当变差dn为等差或等比数列时，我们可以将其转化为等差或等比数列求通项公式.【例题】已知a1=1，an+1=an+2n+n求通项公式.【分析】这是一个变差数列，“变差”dn=2n+n是一个等比数列与等差数列的和.【解答】在差式an+1-an=2n+n中，对n进行“迭代”：依次令n=1，2，…，k，得方程组两边相加，消去a1，a2，…，ak，得ak+1=1+(21+22+…+2k)+(1+2+…+k)得通项公式“迭代法”求变差数列通项公式.31【题设】设有变差数列a1=a，an+1

7、=an+dn其中d1+d2+…+dn=D(n)【迭代】在an+1-an=dn中，依次令n=1，2，…，k，得k元k列方程组【解ak+1】方程组两边相加，消去a1，a2，…，ak解得ak+1=a+(d1+d2+…+dk)=a+D(k)【求an】由此得an=a+D(n-1)为所求通项公式. 六、由an+1=f(an)到F(an，an+1)数列的递推式，如等差数列的递推式an+1=an+d=f(an)是用an的函数式来表示an+1其实，函数式只为方程