高中数学论文：递推数列通项公式之题根研究.doc

《高中数学论文：递推数列通项公式之题根研究.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、递推数列通项公式之的题根研究[题根]数列满足，，求通项公式。[分析]此为型递推数列，构造新数列，转化成等比数列求解。[解答]在两边加1，得，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，得，即为所求。[规律小结]型递推数列，当p=1时,数列为等差数列；当时,数列为等比数列。当时，一定存在满足，从而得，此为函数的不动点。由，得是首项为，公比为p的等比数列，于是,即，将代入上式，得通项公式为……（#）[变题1]数列满足，，求通项公式。[解答]将已知关系式取倒数得，由（#）式得，所以。[规律小结]型递推数列的通项公式的求法：令，

2、得或为两不动点。由于，设，则，此为模型。同样，也可化为模型，由（#）式可求得。更为特殊的是p=s时，,设则是等差数列，故常取的倒数求解。[变题2]（2006年江西理第22题）已知数列满足，，求通项公式。[解答]，即，又，得，所以，得。[变题3]已知数列中，，,求的通项公式。[分析]将题中递推式变形，利用错位相消法。[解答]将题中递推式表示为：，于是，，，……，，各式相加得得通项公式为。[规律小结]对于型递推数列，设则称数列是差数列，则得所以的通项公式为…………（I）.当n=1时，也满足(I)式。此法称为累加错位相消

3、法。[变题4]数列满足,，求。[分析]递推式两边同除以，经过变量替换，可化为型递推式。[解答]在两边同除以，得，令，则,于是则所以[规律小结]对于型递推数列，当f(n)是常数q时，即为模型。当f(n)是变量时，两边同除以,得,令,得求出的通项公式，从而得。[变题5]（2006年全国理第22题）设数列前n项和为，n=1,2,……，求通项。[解答]。因为，所以由题设得：，即，得。[规律小结]根据数列性质可得出递推关系，然后再根据结构特征求通项公式。[变题6]数列满足，，求通项公式。[分析]观察与、与存在的关系，思考解答

4、方法。[解答]，，，……，，各式相乘得。[规律小结]对于型递推式，1、若f(n)为常数,则为等比数列。2、若f(n)为变数，通项公式求解方法如下：各式两边分别相乘，得…（II）；当n=1时,(II)仍成立。此法称为累积错位相消法求数列通项。[变题7]数列中，令，（1）求数列的通项公式；（2）求。[分析]利用对数运算法则，变形转化。解：（1）由已知得，得。（2）由，得[规律小结]对于递推式，当p=1时，为等比数列。当时，对递推式两边取常用对数，得,令,得，此为模型。连接练习1、数列满足,，求。2、函数，数列满足，，，

5、（1）求的通项公式；（2）设，求。3、在数列中，,,求通项公式。4、数列满足,，求。5、数列的前n项和，,求。6、在数列中，，，求。7、数列中，，求。8、（05年重庆文22）在数列中，,,记，求通项公式及数列的前n项和。9、（05年山东21）数列的首项，前n项和，且，证明数列是等比数列。参考答案1、由得，可得；或由求。2、；。3、两边同除以n(n+1),得，令，得，，于是，4、两边同除以，得，即，得。5、由,得，。6、取对数，，令，则，，且，……，。7、令，得，即两不动点。由。令，则，得，所以。8、由，得，代入，得

6、，则，所以是首项为，公比为的等比数列，故，得。由，得，故。9、由已知，得，相减得，即，即。又，从而，即数列是等比数列。