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1、题根研究抽象函数性质寻根一、抽象函数考场有约如果把用解析式定义的函数称为“具体函数”，那么，不用解析式而直接用性质定义的函数则可称为“抽象函数”.抽象函数在近年的考卷屮频频出现，如2007年天津卷第7题就是抽象函数的例子.【例1】在R上定义的函数.f(x)是偶函数，且/(x)=/(2-x),若/(x)在区间［1,2］上是减函数，则/(x)在区间［3,4］上是增函数在区间［3,4］上是减函数在区间［3,4］上是增函数在区间［3,4］上是减函数A.在区间B.在区间C.在区间D.在区间［-2,-1］上是增函数，：
2、-2,-1］上是增函数，［-2,-1］上是减函数,［-2,—1］上是减函数，【分析】习惯于用具体解析式研究函数性质的人，对用抽象定义的函数往往感到不习惯.其实直接川抽彖函数來解决函数问题，冇时比川解析式还方便.本题就是这样的例了.【解答】B由函数是偶函数知函数的图像关于y轴对称，函数在区间［-2,-1］的单调性与在区间［1,2］的单调性相反，为增函数；由知函数的图像关于直线兀=1对称，故函数在区间［3,4］上的单调性与在区间［-2,-1］上的单调性相反，为减函数，所以选B.【点评】木题以抽象函数为载体考杏了
3、函数图像和函数的性质.抽象函数的解法通常采用“形象法”一一画图.按给出的性质画出符合性质的最简略图.如本题所画的略图如下一一直线段示图——它符合题目给出的3条性质.【互动】抽象与形象互动.从函数略图上形象看到，这个函数是个周期函数，用函数的抽象性质证明如下：由于⑴*(2-兀)和f(-x)=f⑴可以推得/(x)=/(2+x),由此可知于⑴是一个周期为2的周期函数的.从形象上还"J看到，函数有无穷条对称轴x=(mWZ).因为x=0和尤=1是它的对称轴,乂函数的周期为2,故"说都是它的对称输证明从略。【注意】对称
4、性问题，要弄清：是一个函数本身的对称，还是两个函数的对称.如由f(a+x)=/(b-x)得函数/⑴的图像关于肓•线x="十"对称，而函数y=/(a+x)与y=/(b-x)的图像关于直线X=对称.2二、抽象函数函数集合用性质定义的抽象函数，它往往不是一个具体的函数，有时符合性质的甫数是一类函数，或者说是一类函数的集合.如例1,符合给定的3条性质的函数除了简图中线段表示的函数外，还冇没冇其他的函数也含有这3条性质——我们继续研究例1.【例2】在R上定义的函数/(兀)是偶函数，且/(x)=/(2-x),若7(兀)
5、在区间［1,2］上是减函数，则函数能是：A.sinnxB.-sinJixC.cosnxD.-cos【解答】D这4个函数的周期都是2.符合“偶函数”条件的只有C和D.而在区间［1,2］上递减的只冇D.故答案为D.图像如下【探究】例1中的函数/(X),除了上述两图像表示的具体函数以外，还有没有其他的函数呢？显然，这个两数集合小的“元素”——多到无穷.如以下解析式表示的函数都是：f(x)=—Acos兀兀+m,其中A为正数，加为任意实数.那么，这里的/(Q到底是个什么函数呢？请不要老是往统一的解析式上寻找.它是一个
6、函数集合，我们可以用集合的描述法表示如2A={/⑴"•⑴是R上偶函数，f(x)=f(2-x)f/©)在区间［1,2］上递减}像这样的抽象函数还有：B={/(Q
7、/(-x)=/(x)}是偶函数的集合；C={/(x)
8、/(-x)=-/(x)}是奇函数的集合；D={/(x)
9、/(x+y)=/(x)+f(y)}是正比例函数的集合;E={/WI/(£jl2)=/⑴+""}是一次函数的集合,等等.22对这些抽象函数(集合)，随着英他条件(性质)的添加，则抽象函数逐步提出它们的“子集”或“元素”.如在D中，限制条件/(!
10、)=-2,则得到此集合屮的一个''元素”：f(x)=-2x.三、抽象函数用方程定义在7大数学思想中，人们把“函数方程思想”放在首位，函数与方程本來就是一对孝生兄弟.函数的解析式y=f(x)可视二元方程F(x,y)=0；反之，对二元方程F(x,刃，也可把y视作x的函数.因此，函数不仅可用解析式定义，还可用方程或不等式定义.【例3】已知函数金)的定义域为R,对任意实数加,n都有•/(«)»且当Q0时0l/⑴是R上的减
11、函数(III)设A={(x,y)l/U2)・/(/)>/(!)}，B={(x,y)lf(ax-^2)=若，试确定实数d的取值范围.【分析】这就是用方程和不等式定义的函数，按命题人思想，并不需要先求函数解析式(即使是已经知道这个函数是个指数函数)，而是用函数的性质直接解题.【解(I)】/(0)=/(0+0)=/(0)-/0))=/2(0)即/(O)-f2(0)=/(o)L1-/(0)]=o故/(O)=I或几0)=o
