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1、浅谈几个数学解题的模式「解题」是数学中一个主要的活动，从小到大数学的学习活动，都脱离不了学习如何去解题，这一连串的课程主要是取材于George.Polya的vv如何解题＞＞、《数学发现＞＞、vv数学与猜想＞＞这三部书，希望能介绍一些有用的策略与方法，让读者在学习数学的过程中，能有一些遵循的模式与法则。当然并不是所有的问题都能经由这些模式去解决，但是我们试图举出一些理性、有效率的建议，以提供读者参考。(A)双轨迹模式：未知点的一条轨迹；而每一条轨迹必须是一条直线或者是一个圆。模式的叙述：把问题简化为作一个点，然后，把条件分为两部分，使每一个部分变
2、成［例題1］已知一三角形ABC,求作此三角形的内切圆。三角形的三个边，AB,BC,CA。一个点X。X点到AB,BC,CA三边的距离相等。简化问题：已知未知条件做法(1)将条件分成两部分第一部份：X到AB,BC的距离相等=＞满足第一条件的轨迹是两条互相垂直的直线。(直线ABJBC的角平分线)第二部分：X到AB,CA的距离相等=＞满足第一条件的轨迹是两条互相垂直的直线。(直线AB,CA的角平分线)(2)满足上述两个条件的轨迹有四个交点，而X为其小一个。(練習1)三等份一给定三角形的面积，即在给定AABC内求一点X,使得AXAB、AXBC、AXCA面
3、积相等。简化问题：已知：未知：条件：做法：⑴若从AXAB=AXBC出发，则X会落在若从AXBOAXCA出发，则X会落在(2)若从AXAB=
4、AABC出发，则X会落在若从axbc+aabc出发，则X会落在由(1)(2)出发，可找到不一•样的做法吗？(練習2)已知P为直线L上一点，A为L外一点，求作一圆通过A点且与L相切于P点。已知：未知：条件：作法：A。(A)相似形模式:模式的叙述：当我们一下了求不出欲求的图形，考虑能否做出与所求图形和似的图形，藉此再求得所要的图形。2］在一•个给定的AABC中作一内接正方形，此正方形的两个顶点在AB上,—•个在
5、AC上，一个在BC±o已知：AABC未知：正方形条件：正方形的两个顶点在AB±,一个在AC上，—•个在BC±O做法：(1)减弱一个条件，正方形一个顶点不用落在BC(2)减弱条件Z后，可做出多个相似的正方形。(3)观察这些相似正方形的顶点，这些顶点共线a(4)所求的正方形，其顶点要在BC边上，故此直线与BC的交点即为所求正方形的一个顶点，其余个顶点，亦可顺序做出来。(練習3)给定ZACB,作一直线交CA于X点，CB于Y点，使得AX二XY二YB。假设问题已知解决了！如图。B⑴作YZ//XA且YZ=XAo/(2)AXYZ为菱形且ABYZ为等腰三角形。
6、A、'(3)如果可做出乙则可由Z求Y。虽然无法求出ABYZ不过却知道它的形状，我们试著作一个与之「二—JX相似的三角形。(1)我们不知道Y的位置，不过倒著作，先在BC上任取一点V,假设V是我们B欲求的Y点，反过来去求类似Z点的Z‘，即作直线Yzz7/CA,使得YZ二Y’B。(1)Z，点取定之后，如何在AB上找一个类似A点的点A，呢?做法：/(2)A，点取定Z后，四边形BYZA与BYZa，c是相似的图形，如何由Z，点在去求Z点呢？做法：(練習4)给定一个三角形的三个高ha,hb,h，求作此三角形。已知：未知条件做法(A)辅助图形模式：模式的叙述：
7、设法发现图形的一部份或与Z密切和关的某个图形，它是能否做出欲求的图形的一块踏脚石。我们应该注意寻找那些容易从所求的图形中分出來的图形，而且应该寻找极端情况，运用模拟法或变化已知量等等，引出辅助图形。［例I題3］做两个已知圆的公切线。已知量：两个相离的圆。未知量：两组公切线。做法：以外公切线为例(1)寻找辅助问题的方法一变化已知量：即变化两圆的半径大小。找极端的情形：有一个圆变成一点。(1)当两圆的半径同时缩小，而有一圆缩成一个点时，想一想这样变化的过程屮，每一条外公切线都在移动着，但是整个移动过程，它们始终都是平行的。(2)将圆外一点作圆的切线
8、当作是辅助问题，根据(2)的结果，就可得出(練習5)给定一直线L,与线外两点A,B,A,B两点同侧且AB不平行L,求作与直线L相切且通过A,B的圆。已知：直线L与线外同侧的两点A,B未知：圆条件：此圆与直线L相切且通过A,B两点。做法：(1)辅助问题：给定不共线三点，就可决定一个圆。故我们想去寻找在L上圆的切点T。(2)假设圆已做成了，设P点为直线与直线AB的交点，根据切割线定理(PT)2=PAPB,我们可藉由PT来求T点的位置。(3)如何求出PT呢?以上我们列出了能用以处理儿何作图问题的三种不同的模式。辅助图形模式比起和似形模式來，给我们以更
9、多的选择机会，但是他的目标不太确定。双轨迹模式是最简单的一你可以首先试试看，因为在大多数情况下最好先从简单的试起。但不要把口己束缚住，要保持开阔的思路
