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《浅谈几个数学解题的模式.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、淺談幾個數學解題的模式「解題」是數學中一個主要的活動，從小到大數學的學習活動，都脫離不了學習如何去解題,這一連串的課程主要是取材於George.Polya的<<如何解題>〉、<〈數學發現〉>、〈<數學與猜想>>這三部書，希望能介紹一些有用的策略與方法，讓讀者在學習數學的過程中,能有一些遵循的模式與法則。當然並不是所有的問題都能經由這些模式去解決，但是我們試圖舉出一些理性、有效率的建議，以提供讀者參考。（A)雙軌跡模式：模式的敘述：把問題簡化為作一個點，然後，把條件分為兩部分,使每一個部分變成未知點的一條軌跡；而每一條軌跡必須是一條直線或者是一
2、個圓.[例題1]已知一三角形ABC，求作此三角形的內切圓。簡化問題：已知：三角形的三個邊,AB,BC，CA。未知：一個點X。條件:X點到AB,BC,CA三邊的距離相等。做法：(1）將條件分成兩部分第一部份：X到AB,BC的距離相等Þ滿足第一條件的軌跡是兩條互相垂直的直線。（直線AB，BC的角平分線)第二部分:X到AB，CA的距離相等Þ滿足第一條件的軌跡是兩條互相垂直的直線.（直線AB,CA的角平分線）（2)滿足上述兩個條件的軌跡有四個交點,而X為其中一個。(練習1)三等份一給定三角形的面積，即在給定DABC內求一點X，使得DXAB、DXBC、
3、DXCA面積相等。簡化問題：已知:未知：條件：做法:（1）若從DXAB=DXBC出發,則X會落在若從DXBC=DXCA出發，則X會落在（2)若從DXAB=DABC出發，則X會落在若從DXBC=DABC出發，則X會落在由（1）(2）出發，可找到不一樣的做法嗎?PA(練習2)已知P為直線L上一點，A為L外一點,求作一圓通過A點且與L相切於P點.已知：未知：條件：作法:(B)相似形模式：模式的敘述：當我們一下子求不出欲求的圖形，考慮能否做出與所求圖形相似的圖形，藉此再求得所要的圖形.CBA[例題1]在一個給定的DABC中作一內接正方形,此正方形的兩
4、個頂點在AB上，一個在AC上，一個在BC上。已知：DABC未知：正方形條件：正方形的兩個頂點在AB上,一個在AC上,一個在BC上。做法：(1）減弱一個條件，正方形一個頂點不用落在BC上。（2）減弱條件之後，可做出多個相似的正方形.(3)觀察這些相似正方形的頂點，這些頂點共線。（4）所求的正方形，其頂點要在BC邊上，故此直線與的交點即為所求正方形的一個頂點，其餘個頂點，亦可順序做出來.(練習1)給定ÐACB，作一直線交CA於X點,CB於Y點，使得==。假設問題已知解決了！如圖.（1)作YZ//XA且YZ=XA.（2）AXYZ為菱形且DBYZ為等
5、腰三角形.(3)如果可做出Z，則可由Z求Y.雖然無法求出DBYZ,不過卻知道它的形狀,我們試著作一個與之相似的三角形。（1）我們不知道Y的位置，不過倒著作，先在上任取一點Y/，假設Y/是我們欲求的Y點，反過來去求類似Z點的Z/，即作直線Y/Z///CA，使得Y/Z/=Y/B。（2）Z/點取定之後，如何在上找一個類似A點的點A/呢？做法：（3）A/點取定之後，四邊形BYZA與BY/Z/A/是相似的圖形，如何由Z/點在去求Z點呢？做法：(練習1)給定一個三角形的三個高ha,hb,hc,求作此三角形。已知：未知條件：做法:(C)輔助圖形模式:模式的
6、敘述：設法發現圖形的一部份或與之密切相關的某個圖形，它是能否做出欲求的圖形的一塊踏腳石.我們應該注意尋找那些容易從所求的圖形中分出來的圖形，而且應該尋找極端情況，運用類比法或變化已知量等等，引出輔助圖形.[例題1]做兩個已知圓的公切線。已知量：兩個相離的圓.未知量：兩組公切線。做法：以外公切線為例（1）尋找輔助問題的方法¾變化已知量：即變化兩圓的半徑大小。找極端的情形:有一個圓變成一點.(2)當兩圓的半徑同時縮小，而有一圓縮成一個點時，想一想這樣變化的過程中，每一條外公切線都在移動著，但是整個移動過程，它們始終都是平行的。(3)將圓外一點作圓
7、的切線當作是輔助問題，根據(2）的結果,就可得出兩圓外公切線的做法。(練習1)給定一直線L，與線外兩點A，B，A，B兩點同側且不平行L，求作與直線L相切且通過A,B的圓.已知：直線L與線外同側的兩點A，B未知：圓條件：此圓與直線L相切且通過A，B兩點。做法：（1)輔助問題：給定不共線三點，就可決定一個圓。故我們想去尋找在L上圓的切點T。（2)假設圓已做成了，設P點為直線與直線AB的交點，根據切割線定理（)2=×，我們可藉由來求T點的位置.（3)如何求出呢?以上我們列出了能用以處理幾何作圖問題的三種不同的模式。輔助圖形模式比起相似形模式來，給我
8、們以更多的選擇機會,但是他的目標不太確定。雙軌跡模式是最簡單的¾你可以首先試試看,因為在大多數情況下最好先從簡單的試起。但不要把自己束縛住,要保持開闊的思路：把問題
