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1、数学解题的几种思维模式陕西洋县中学（723300）刘大鸣1类比简化思维.类比是根据两个不同的对象，在某些特征性质、关系的类同之处，猜测它们在其它方面可能类同之处，作出某种判断推理，并加以证明.在解题中通常遇到较复杂的问题，往往可以将它与其类同的简单问题作类比，通过简单问题寻求解题的途径，然后再类比解决原来要求解的问题.例1求证正四面体内某一点到各面的距离之和为定值.【思维展示】降维意识,类比平面几何中“正三角形内一点到各边距离之和为定值即正三角形的高,其方法为面积分割法”.于是,正四面体内某一点与四个面把正四面体分成四个三棱锥,这四个锥的地面积相等,四个高的
2、和为所求值.由同一个正四面体其体积相等有,,则.故正四面体某一点到各面的距离之和为定值其值为正四面体的高.【评注】试回味求解本题的方法和结论.注重立体几何的结论和方法与平面几何中的结论和方法的类比,往往能寻求到简捷的解题途径.例2已知【思维展示】用类比简化思维解决.简化研究二元不等式的情况，即证条件不等式.即要证显然，两种情况下，上式不等式都成立.也就是二元不等式成立.现在类比原来的三元不等式，仿二元不等式的情况进行证明.要证，由a,b,c的大小关系，不失一般性可设，由指数函数的值域有，，三式相乘的上面不等式成立.故所证的不等式成立.2构造模型思维.(2,2
3、)0xy构造模型思维就是利用抽象的普遍性，把一些具体的问题转化为数学的形或式，为待解决的问题设计一个合理的结构或数学模型，适当地加以解决.例3求函数的最值.【思维展示】构造斜率几何意义模型，化归直线和圆位置关系,数形结合求解.其函数最值为定点（2,2）和动点（cosx,sinx）连线的斜率的最值.由y=k(x-2)+2和x2+y2=1相切有,解得，，数形结合有，.例4若，求的最小值【思维展示】翻译两点间的距离公式，构造“平几模型”“两边之和大于或等于第三边，两边之差小于或等于第三边”，利用点的对称问题简化解决最值问题.原式化为，设为直线L上的点，于是，问题化
4、为在直线L上找一点到两定点的距离和最小的问题.由于A，B都在直线L的上方，若设为B关于L的对称点，用解析法构建方程组可求，由平几，=53特殊一般化思维.将特殊问题一般化，借助于一般性问题来解决特殊性问题，这是“以进求退”的一种辨证思维方法，往往能达到简化解答问题的目的.例5设.【思维展示】直接证明比较困难,不妨将特殊问题一般化,观察不等式可改写为.由此,可改证一般形式,得出新命题:的证明.对均值不等式,赋值.令得,,即成立.再以代入的原不等式成立.4归纳猜想思维。归纳猜想是对研究对象或问题，以一定数量的个别例或简单的、特殊的情况进行观察、分析，从中归纳出一般
5、的规律和性质，得出有关命题的的形式、结论或求解方法的猜测.这种从特殊到一般的思维方式称为归纳猜想思维.这是数学解题常用的一种思维方式.例6设｛an｝是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对一切自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，求数列｛an｝的通项公式.【思维展示】先猜后证.易求，a1=2,a2=6,a3=10,…,猜an=4n-2.用数学归纳法证明.⑴当n=1时，显然成立；⑵假设n=k时成立，即ak=4k-2.由题设有，，而一般数列的切入点为ak+1=Sk+1-Sk=,将假设ak=4k-2代入整理有，，解方程有，，这就是说，当时猜想也成立.
6、由⑴和⑵猜想成立.即an=4n-2.【评注】本题为94年高考题.也可用“为an的二次函数，则｛an｝为等差数列”探究解题思路.由一般数列的切入点ak+1=Sk+1-Sk=，注意题设化简整理有，，易求an=4n-2.例7（2002年高考）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，都满足f（ab）=af（b）+bf（a）.⑴求f（0），f（1）的值；⑵判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；⑶若f（2）=2，Un=f（2-n）/n（n∈N），求数列｛Un｝的前n项和Sn。【思维展示】赋值求值和研究奇偶性.归纳猜测通项公式,数学归纳法证明.⑴
7、令a=b=0，则f(0)=0.f(1)=f(1·1)=f(1)+f(1)=2f(1),f(1)=0；⑵f(x)为奇函数；f(1)=f〔(-1)2〕=-f(-1)-f(-1)=0,f(_-1)=0,于是f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),即为奇函数；⑶易猜f(an)=nan-1f(a)，用数学归纳法可证.Un==(-1/2)(1/2)n-1,用等比数列求和有Sn=(1/2)n-1.5变换转化思维.从一种形式到另一种形式的转化，是数学解题最常用的方法之一.在求解问题时，把较难的问题转化为比较几个简单、难度较低或已经熟悉易于求解的新问
8、题.通过对新问题的研究，发现原问题的解题思路，以达到
