江苏省2015年高考数学考前指导：立体几何（高邮一中）

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1、立体几何(高邮一中)1.如图，正方形ABCD所在平而与平而四边形ABEF所在平而互相垂总，“ABE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,ZAEF=45：(I)求证：EF丄平面BCE；(H)设线段CD、/E的中点分别为戶、M,求证：PM〃平面ECE【解析】解法一：因为平面ABEF丄平面ABCD,BCu平面ABCD,BC丄AB,平面ABEFA平面ABCD二AB,所以BC丄平而ABEF.所以BC丄EF.因为ZABE为等腰直角三角形，AB二AE,所以ZAEB=45°,又因为ZAEF二45,所以ZFEB=90°,即EF丄BE・因为BC

2、u平而ABCD,BEu平而BCE,BCABE=B所以EF丄平面BCE(II)取BE的屮点N,连结CN,MN,则MN么-A5^PC2・・・PMNC为平行四边形，所以PM//CN.・・•CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，・・・PM〃平面BCE.解法二：因D5E等腰岂角三角形，AB=AEf所以/E丄又因为平而ABEFc平^ABCD=AB,所以/E丄平而ABCD,所以/E丄/Q即AD.AB./E两两垂直；如图建立空间直角坐标系，(I)设AB=,则AE=,B(O,1,O),D(1,O,O),E(O,O,1),C(1,1,O)•

3、・•FA=FE,AAEF=45°,厶FE=90°,从而F(0,—丄丄)22EF=(0,-丄,一丄),RE=(0,-l,l),5C=(1,0,0)22AA11''于是EF・BE=0+=0,EF•5C=022EF丄BE,EF丄BCTBEu平而BCE，BCcz平而BCE,BCcBE=B・・・EF丄平面BCE（II）M（0,0,丄）,P（1丄,0）,从而PA/=（-l-2222于是而•而=（-1,——丄）•（0,—一,一丄）=0+-——=0222244:・PMA.EF,又EF丄平面BCE,直线不在平面BCE内，故〃平面BCE1.如图，四

4、棱柱4BCD-AbCQi中，力虫丄底面ABCD,四边形ABCD为梯形，AD〃BC,H./D=2BC.过Mi，C,。三点的平面记为么，3耳与a的交点为Q.（1）证明：0为的中点；（2）求此四棱柱被平面«所分成上下两部分的体积Z比；解析（1）证明：因为BQ//AAlfBC//AD,BCQBQ=B,AD^AA}=A,所以平面0BC〃平hAiAD,从而平面&CQ与这两个平面的交线相互平行，即QC//AQ.故△QBC与△///）的对应边相互平行，于是△QBCs'SD,所以器即。为谿的中点、-（2）如图1所示，连接0,0D设脳1=力，梯

5、形ABCD的高为d,四棱柱被平面a所分成上下两部分的体积分别为/上和7下,BC=a,贝\AD=2a.图17三棱辛鸽Q必•2a•h•d=gahd,闌=知〃,rr1q+2qV四棱惟~2~所以7下=7三棱锥Q-A.AD+V四昨q_ABCD=pMd.73又f四棱柱4BCQ・ABCD=¥hd,3711y{.11所以rL=r四棱柱佔GD-ABCD-V下=ghd_pahd=pahd,故讦=〒•1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AlBlClD］中,E,F,M,N分别是棱M,AD,佔,的中点，点P，0分别在棱DDi，BBi上移动,且

6、DP=BQ=2(0

7、EF=*BD.XDP=BQ,DP//BQf所以四边形P03Q是平行四边形，&PQ〃BD,APQ=BD,从而EF//PQ,H.£F=*PQ・在RtAEBQ和Rt/XFDP中，因为BQ=DP=h,BE=DF=1,于是EQ=FP=y/l+7,所以四边形EFP0也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MV的屮点为H,O,G,连接OH,OG,贝IJGO丄PQ,H01.PQ,而GOCHO=O,故ZGOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面介.若存在久，使面EFPQ与面P0WV所成的二面角为直二面角，则ZGO

8、H=90°.连接EM,FN,则由EF〃必N,且知四边形EFMW是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,的中点，所以GH=ME=2.在厶GOH中，GH?=4,OH2=+^-(^=/l2+

9、,OG2=1+(2—zI)2—関=(2-A)2+

10、,由0&+0护=6护