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1、锥曲线定义的深层及综合运用吴宝莹圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥
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4、线定义的深层及其综合运用。一、椭圆定义的深层运用22例1・如图1,P为椭圆二+丄亍=l(a>b>0)上一•动点，耳、冷为其两焦点，从许向ZF'PF?cTb_的外角的平分线作垂线，垂足为M,将F?P的延长线于N,求M的轨迹方程。解析：易知IPFJ=IPN,®INF2=NPMPF2=PF,l+lPF2=2a在厶F}F2N^fOM=-NF2=a则点M的轨迹方程为x2+y2=/。二、双曲线定义的深层运用X2y
5、2例2.如图2,耳、只为双曲线一^一耳=l(a〉O,b>0)的两焦点，P为其上一动点，从cT片向ZF'PF?的平分线作垂线，垂足为M,求M的轨迹方程。图2解析：不妨设卩点在双曲线的右支上，延长F
6、M交PF2的延长线于N,则PF{=PN=PF2MF2NfWF2N=PF}-PF2=2a在△片NF?中，IOM=^F2N=a故点M的轨迹方程为兀2+y2=a2三、抛物线定义的深层运用例3.如图3,AB为抛物线y=x2的一条弦，IABI=4,F为其焦点，求AB的中点M到直线y=一1的最短距离。解析：易知抛物线y=x2的准线/：y=作AA'丄人
7、BB1!/,MM1!/,垂足分别为A'、BM1IAFI+IBFIIABI小22即M到宜线y=-丄的最短距离为24311故M到宜线y=—1的最短距离为2+—二一。44评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦吋，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的屮点到准线的最短距离，只有当AB>2p（即通径长）时，才能用上述解法。四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4・①已知圆兀2+）,2=4,P（V3,0）,M为圆上任一点，MP的垂肓平分线交OM于Q,则Q的轨迹为（）图4②已知圆/轨迹为（）+y2=4,P怎,0）,M为圆上任一点，
8、MP的垂宜平分线交于Q,则Q的A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：①如图4,由垂直平分线的性质,知IQMI=IQPI,而IQMI=IOMI一IOQI=2—IOQI即IOQI+IQPI=2>IOPI=V3故Q的轨迹是以O(0,0)、P(V3,0)为焦点长轴长为2的椭圆。应选B。②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5・如图5,已知三点A(-7,0),B(7,0),C(2,一12)。①若椭圆过A、B两点，且C为具一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其
9、一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。解析：①由椭圆定义知,IAPI+IACI=IBPI+IBCI,即IPB-PA=AC-BC=2<1AB=14故P的轨迹为A(-7,0)、B(7,0)为焦点实轴长为2的双曲线的一支，其力程为兀~—-—=1(兀<0)；48②经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上总冇IQAI+IQBI=IACI+IBCI=28>IABI=14故点Q的轨迹为以A(-7,0)、B(7,0)为焦点22长轴长为28的椭鬪，其方程为—+=lo196147［练习］1.已知椭圆E的离心率为e,左、右焦点为R、F2,抛物线C以笃为焦点，耳为其顶点，若P为两
10、Illi线的公共点，且ePF2=PF.,则尸o2.已知OO：%2+y2=4,一动抛物线过A(-1,0)、B(1,0)两点，且以圆的切线为准线,求动抛物线的焦点F的轨迹方程。答案:亍牛1，円
