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1、对古典数学中句股的研究内容摘要：勾股定理是从初中开始大家就并不陌主的、应用广泛的定理但是，勾股定理却只是一类问题中最基本的定理，想要真正了解勾股形的各类问题解法，便不得不联系到中国古典数学中的著名问题一句股。对句股的研究，将带领大家走进一片全然不同的数学天地。关键词：勾股形公式勾股是中国传统数学的重要科目，由先秦“九数”中的“旁要”发展而来。根据《周髀算经》记载，勾股知识在中国起源很早，起码可以追随到公元前11世纪，公元前5世纪陈子答荣方问中己有勾股术的抽象完整的表述。贾宪《黄帝九章算经细草》将勾股容方解法称为勾股旁耍
2、法，可见“旁耍”除了测望城邑等一次测望问题外，还应当包括勾股术、勾股容方、勾股容圆等内容，郑玄引郑众注“九数”曰：“今有句股，重差也可知，勾股问题在汉代得到了极大的发展,并形成了一个科目。它与“旁要”有关，但在深度和广度上都远远超过“旁要”，后将其在《九章算术》中改称“句股”“句股短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦。术曰：句股各自乘，并，而开方除Z,即弦。又，股自乘，以减弦自乘，开方除Z,即句。⑴又，句自乘，以减弦口乘，其余，开方除之，即股⑵。”摘口《九章算数》勾股形勾股形中较短的直角边(a边)称为句，较长的直角边(b边
3、)称为股，斜边(c边)称为弦。《九章算术》勾股术给出勾股定理c=Va2+b2古典数学中以句股来处理商深广远的问题，我们小组对以下五种问题进行了研究。一、已知勾和股弦差求股、弦的问题上世纪起，许多中学课外读物中有所谓印度莲花问题，实际上是以1000多年前中国古典数学中“引葭赴岸”问为参考的改写，以卜'给岀“引葭赴岸”问:今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问：水深,葭长各几何？苔曰：水深一丈二尺，葭长一丈三尺。⑴在《九章算术》中，刘徽认为池方之半，水深，葭长构成一个勾股形，我们记其中勾即为池方之半为a
4、,股即水深为b,弦即葭长为根据勾股定理/re?■错误！链接无效。，出水即为c・b《九章算术》的术文表示(c-b)2=2b(c-b)这个等式可以用几何方法与代数方法共同证明。首先，我们来展示代数方法，这个等式由以下变换得到：注释：(1)这段话意为：假设冇-•水池，乂见方，i株芦苇生长在它的中央，露出水而I尺。把芦苇赴向岸边，顶端恰好与岸相齐。问：水深、芦苇的长各是多少？答：水深是1丈2尺，芦苇长是1丈3尺=(c-b)[(c+b)-(c-b)]=2b(c-b)儿何证明如下图所示：H*—•—真―碎基采自译注木《九章算术》)以
5、弦长为边长的正方形面积为C?,III部分的面积为lA显然，I与r部分面积相等，同为b(c・b),故两部分面积和为2b(c-b),I［部分的面积为(c-b)2o故I与r部分面积之和等于c?一错误！链接无效。-(c-b)2=错误！链接无效o-(c-b)2=2b(c-b)因此a2_(c_b)22(c_b)即然已经显现出水深，所以加露出水面的尺数而得到芦苇的长度。二、由勾股差与弦求勾的二次议程在《九章算术》中，刘微又捉出了由勾股弟(即b・a)求勾(a)的开方式，即以a为未知数的二次议程a2+(b-a)a=如图所示cL(b・a)
6、F-正方形ABCD的边长为CAF=DG=CH=BI=aAG=DH=CI=BF=b,且RtAAFB^RtADGA^RtACHD^RtABIC^RtAAED延长BF交DE于点M,易得四边形MDGF为矩形，四边形AEMF为止方形。则正方ABCD的而积为C2,AE=a,故正方形AEMF的而积为a£长方形MDGF的面积为a(b-a),正方形FGHI的面积为(b-a)2,RtAAFB及其余4个与Z全等的直角三角形的面积为刁，故c2-(b-a)9ab9-=4X—=2ab=2[a2+a(b-a)]所以¥+(b・a)a二虽号应将此等式中
7、的a看作未知数，b・a和c均为已知，则易得关于a的一元二次方程，即町在知道勾股差与弦的情况下求勾。三、勾股容方今有勾五步，股十二步。问：句中容方几何？苔曰：方三步一十七分步之九⑴此是已知勾股形中勾a,股b,求其所容正方形的边长d的问题,如图所示:勾股容方(采门《古代世界数学泰斗刘徽》)注释：(1)这段话意为：假设一勾股形的勾是5步，股是12步。问：如果勾股形中容一正方形，它的边长是多少？答：边长是7■善步这里规立勾股形所容正方形称为黄方，余下两小勾股形，位于勾上的称为朱幕，位于股上的称为青幕。作以勾、股为边长的长方形,
8、其面积为abo显然，它含有2个朱幕，2个青幕、2个黄方，如图（2）所示。没勾上小勾股形（朱幕）的三边为a”bP5,股上小勾股形（青幕）的三边为a2，b2,C2，如图所示:刘徽提出，相似勾股形对应边成比例，则a:b:c=ai：bi：Ci=a2：b2：C2由玮<媚+唏+1a+ba]+b]=bi因为b]与d相等,故a=a]+b]a+ba
