勾股有关的趣题

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1、学习方法报社全新课标理念，优质课程资源◎周奕生诗歌携勾股共舞一、“荡秋千”问题我国明朝数学家程大位写过一本数学著作叫做《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？CBADEF5尺1尺词的大意是：秋千静挂时，踏板离地的高度是1尺；现在晃出两步（约等于10尺）的距离，有人记录踏板离地的高度为5尺；仕女佳人争着荡秋千，一整天都欢声笑语；工匠师傅们好奇的是秋千绳索有多长呢？解析：如图1，设绳索AC=AD=x（尺）

2、，则AB={（x+1）-5}尺，BD=两步长≈10（尺），在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+BD2=AD2，即（x-4）2+102=x2，解得x=14.5.即绳索长为14.5尺．二、荷花问题印度著名数学家婆什迦罗在其著作《丽拉瓦提》中有一道荷花问题，一位教授在《古算趣味》中把它翻译为一道诗题：         波平如镜一平面，半尺高处出红莲；亭亭多姿湖中立，突被大风吹一边；         离开原处两尺远，花贴湖面像睡莲；请你用心算一算，池塘在此多深浅？诗的大意是：在波平如镜的湖面上，一支红莲高出池塘水面半尺，被风一吹，红莲离开原处二尺，花朵齐

3、及水面，请你算一算，池塘有多深？解析：如图2，设AD为红莲的高，出水处为C.依题意，得CD=尺，BC=2尺.设湖深尺，则AD=AB=（+）尺.在Rt△ACB中，由勾股定理，得，解得.所以湖水深尺.第4页共4页学习方法报社全新课标理念，优质课程资源同学们好，我是小蚂蚁嘟嘟.今天我值日，要是谁找到了食物一定要通知我，我会帮助大家节约时间，因为我掌握了走近路的方法.蚂蚁会勾股走路不辛苦乐乐：嘟嘟，发现情况.图2如图1，有一个圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，我在离杯上沿3cm的A点处，我该如何快速地走到

4、蜂蜜那里？图13嘟嘟解析：将杯子侧面沿经过点A的侧棱展开成矩形，则该矩形是长是圆柱的底面周长18cm，宽是圆柱的高12cm，点C在矩形的长这组对边中点连线上（如图2）．由题意，爬行必须翻越杯口边沿，因此，爬行的最短路线在图2中是经过矩形边上的一点F的折线AFC．因此，欲求爬行的最短距离，只需要确定点F的位置．作A关于EF的对称点A′，连接A/C，交矩形边于F，A/C即是折线AFC的长，也是爬行的最短距离.因为A/C2＝A/D2+DC2＝92+122=225，所以A/C＝15.所以蚂蚁爬行的最短距离为15cm．3点评：将几何体表面展开成平面图形时，要

5、注意原来各点的位置在展开图中相应的位置.乐乐：收到.谢谢嘟嘟.嘟嘟：不客气.还有许多利用勾股定理求最短距离的问题.下面再看一例.如图3，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为　cm.图3图4嘟嘟解析：观察图3，可知蚂蚁爬行经过了长方体的四个侧面，把这四个侧展开后是一个矩形，如图4所示，其长PP′=2×（2＋4）＝12（cm），宽QP′=5cm，蚂蚁从点P爬行到点Q，最短路线恰好是该矩形的对角线PQ，由勾股定理，得PQ2=PP′2+P′Q2=122+52=169.所

6、以PQ＝13cm.因此，蚂蚁爬行的最短路径长为13cm.第4页共4页学习方法报社全新课标理念，优质课程资源用七巧板演示勾股定理七巧板作为一种智力玩具，主要用于消遣、休闲，这是没有问题的．但也有心人把它当做一种工具，让它发挥许多意想不到的作用．我国古时称直角三角形的两个直角边为勾与股，斜边为弦．从19世纪起，研究七巧板的专家们就一致认为，七巧板源于中国古时的勾股法．既然七巧板源于勾股，显然可以用七巧板演示勾股定理．用两副七巧板可以演示勾等于股情况下的勾股定理，方法如下：如图所示，先将一副七巧板拼成大正方形ABCD，再将另一副同样大小的七巧板拼成两个小

7、正方形BIHE和CEFG，并使三个正方形相接，这时ACG，DBI，BEF，CEH和GEI必均为直线，这样，3个正方形之间正好空出一个大三角形BCE，且∠CEF＝∠BEH＝90°，则∠CEB＝∠FEH＝90°，其斜边(弦)就是大正方形的一条边，它的两条直角边(勾和股)分别是两个小正方形的一条边．由于两副七巧板面积相等，所以CE2+BE2=BC2，这就验证了两个直角边的平方和等于斜边的平方，也即勾方+股方=弦方．利用七巧板是否可以演示和验证一些其他的数学知识呢？同学们可以自己尝试一下.第4页共4页学习方法报社全新课标理念，优质课程资源悟空智袭盘丝洞话说

8、唐僧师徒四人一路西行，那日正行时，不知不觉已近中午，悟空让八戒、沙僧陪师傅在林中休息，独自一人去山下化斋．待大圣化斋归来，