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1、趣味勾股重庆市育才中学•趣味引入公元二零零二年世界数学家大会（ICM-2002）在我国首都北京召开，此届大会会标的中央图案（如图1）所示，你知道它是一个怎样的图形吗？你知道我国古代的“勾三、股四、弦五”吗?这两个问题都反映的是古代数学的重大成就勾股定理。相传两千多年前的古希腊，以毕达哥拉斯为首的一批学者发现了它，为了这个定理的发现，他们杀了一百头牛以祭“天神”，并命名为“百牛定理”，也叫“毕达哥拉斯定理”，它是千古第一定理，在现实生活中有许多重要的应用。现在就然我们一起走入勾股定理，去探索、发现勾股定理的奥妙吧！一.史海拾贝勾股定理
2、是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。据统计此定理有毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等名称。而中国所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.英文译法：Pythagoras'Theorem（古代中国人把直角三角形中较短的直角边称为"勾”，较长直角边称为“股”，斜边称为“弦”）放眼世界：这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。
3、勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras,公元前572?〜公元前497?）于公元前550年首先发现的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头,以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。但中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早很多。中国最早的一部数学著作一一《周髀算经》就是铁证：昔者周公問于曰。竊聞.請問古者包犧立周天歷度•夫天不可階而升地不可得尺而度•請問安從出•商高曰•數之法.出于圓方.凰出于
4、方•方出于矩.矩出于九九八十一•故折矩.以為句•廣三•股修四•徑隅五.既方其外.半之一矩•環而共盤.得成三四五.兩矩共長二十有五.是謂積矩.故禹之所以治天下者.此數之所生也.周公曰.大哉言數。译：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形'矩'得到的一条直角边'勾'等于3,另一条直角边'股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就
5、总结出来的呵。”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。其中《勾股章》说：“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方
6、，便可以得到弦”。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在
7、证明勾股定理时也是用以形证数的方法，中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。一.实战演练⑴方程思想（折叠问题）例1：如图1,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知8cm=AB,10cm=BC,求EC的长.分析：设EC二x,则DE=8-x,由于折叠矩形的边AD且D落在点F处，故AAFE和AADE完全重合，则EF=8-x,10=AF=AD,在RtAEFC中运用勾股定理，即可得到关于x的方程，即可求出x的值.解：因为D,
8、E关于AE对称所以AAFE和AADE完全重合即10=AF=AD=BC,DE=EF设EC=x,则DE二8-x,所以在RtAABF中由勾股定理，得BF二JAF2_AB2二6,所以FC=BC-BF=4在RtAEFC中，由勾股定理，得X2+4
