初三二次函数综合题探究

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1、初三二次函数综合题探究猜想.探究题：jr=-(*>D心在反比例函数八图象上，并与工轴相交于A、B两点•且始终与卡轴相切于定点C(0,1).(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；(2)若二次函数图象的顶点为D，问当｝为何值时，四边形ADBP为菱形.解析：⑴连结PC、PA、PB,过P点作PH丄工轴，垂足为H.•・•OP与》轴相切于点C(0,1),・•.PC丄匸轴.P点在反比例函数庶州的图象上，・••P点坐标为(k,1).PA=PC=k.在RfAPH中，恥比価”=OA=OH-AH=k-4^-l••••/由0P交工轴于A、B两点，且PH±AB,由垂径定理可知，

2、PH垂直平分AB.OB=OAZMi=上一血一1+2^—1=上十推一1••,・5(*+-^-1,0)故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为可见该抛物线解析式为y=又抛物线经过C(0,1),,得:r去“丸lx上+何二厅祐=0.解得d=l,・•.抛物线解析式为八匕-拧4-P・(2)由(1)知抛物线顶点D坐标为(「")若四边形ADBP为菱形•则必有PH=DH.PH=1,/.FT"又・•Jh>1,•Jb=当=取忑时，PD与AB互相垂直平分,则四边形ADBP为菱形.2•如图，抛物线八k-xz经过aABC的三个顶点，已知BCF轴，点A在对由上，点C在•：「轴上，

3、且AC=BC.(1)求抛物线的对称轴；(2)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；(3)探究：若点P是抛物线对称轴上且在了轴下方的动点，是否存在^PAB是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由.5解析：⑴抛物线的对称轴"一盂n;(2)A(-3,0)B(5,4)C(0,4)把点A坐标代入才=*-3+4中，(1)存在符合条件的点P共有3个.以下分三类情形探索.设抛物线对称轴与工轴交于N,与CB交于M.过点B作BQ丄=轴于Q,易得BQ=4,AQ=8,AN=5.5,2.①以AB为腰且顶角为角A的^PAB有1个：須皿.・=8a+4a=80在

4、血⑷炳中J北"-如二J血-血二脚用=2^②以AB为腰且顶角为角B的^PAB有1个：-在3率中叫碍冠=如"8-^95^③以AB为底，顶角为角P的aPAB有1个，即击C画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于三，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C.过点应作啓垂直h轴，垂足为K,显然即—1••M=25.car=5于是oar=]尽3-D3・已知抛物线Z=^+4r+«(«为常数)经过点(0,4).(1)求曲的值；(1)将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线，已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴(设为直线勺与平移前的抛物线的对称轴(设为直线%关于h轴对称；它所对

5、应的函数的最小值为-8.①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P,使得以3为半径的OP既与M轴相切，又与直线人相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线人被。P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由•解析：(1)依题意得：tf4-4xO+«=4,解得麻=4；(2)①由(1)得：>=?+4x+4=

6、平移后的抛物线的对称轴为直线即z=2当点P在工轴上方时，与t轴相切，故令八F-4x-4=3,解得x=2±7H此时点班,辟-航3与直线"2之距均为历T,•••^>3，.:。应，。旦均与直线A>-»=2相离.故点G,*不合题意，应舍去.当点P在兰轴下方时,VOP与工轴相切，故令=,解得x=2±^此时点做2+伍却，乐-①与直线"2之距均为性•••g,.・.。乓，。乓均与直线/＞：x=2相交，故点£,久符合题意.此时弦皿=心仙=4综上，点P的坐标为S辰F或C2-历T,直线厶被OP所截得的弦AB的长为4.4•如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为0,A点坐标为(4,0),B点

7、坐标为(/,0),以AB的中点P为圆心，AB为直径作OP与丁轴的正半轴交于点C.(1)求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式.(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式・(3)试说明直线MC与OP的位置关系，并证明你的结论・>=a(x-4X«+D_2解析:⑴连结PC.•・•A(4,0),B(-1,0),••・AB=5.TP是AB的中点，且是G）P的圆心,553PC=PA=^QP=4-敢=?2222=<0-4X0+Dtf=-2•••y=—（J-4X3F+1）抛物线解析式为2、A-x+2.1P=——JC3+—X+2⑵将22配方，得八2丿8..顶

8、点咱罟）.