2018年高中数学 第3章 统计案例 3.2 回归分析教学案 苏教版选修2-3

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1、3.2回归分析1.线性回归模型(1)随机误差具有线性相关关系的两个变量的取值x、y,y的值不能由x完全确定,可将x,y之间的关系表示为y=a+bx+ε,其中a+bx是确定性函数,ε称为随机误差.(2)随机误差产生的主要原因①所用的确定性函数不恰当引起的误差;②忽略了某些因素的影响;③存在观测误差.(3)线性回归模型中a,b值的求法y=a+bx+ε称为线性回归模型.a,b的估计值为a∧,b∧,则(4)回归直线和线性回归方程直线y_∧=a_∧+b_∧x称为回归直线,此直线方程即为线性回归方程,a∧称为回归截距,b∧称为回归系数,

2、y∧称为回归值.2.样本相关系数r及其性质(1)r=.(2)r具有以下性质①

3、r

4、≤1.②

5、r

6、越接近于1,x,y的线性相关程度越强.③

7、r

8、越接近于0,x,y的线性相关程度越弱.3.对相关系数r进行显著性检验的基本步骤(1)提出统计假设H0:变量x,y不具有线性相关关系.(2)如果以95%的把握作出判断,那么可以根据1-0.95=0.05与n-2在教材附录2中查出一个r的临界值r0.05(其中1-0.95=0.05称为检验水平).(3)计算样本相关系数r.(4)作出统计推断:若

9、r

10、>r0.05,则否定H0,表明有95%的

11、把握认为x与y之间具有线性相关关系;若

12、r

13、≤r0.05,则没有理由拒绝原来的假设H0,即就目前数据而言,没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系.1.在线性回归方程中,b既表示回归直线的斜率,又表示自变量x的取值增加一个单位时,函数值y的改变量.2.通过回归方程y∧=a∧+b∧x可求出相应变量的估计值.3.判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图,但在作图中,由于存在误差,有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近,从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系,此时就必须利用线性相关系数来判断.  [例1] 假设关于某设

14、备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料:x23456y2.23.85.56.57.0  若由数据可知,y对x呈现线性相关关系.(1)求线性回归方程;(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?[思路点拨] 代入数值求线性回归方程,然后把x=10代入,估计维修费用.[精解详析] (1)列表如下:i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x49162536经计算得:x=4,y=5,∑5,i=1x=90,∑5,i=1xiyi=112.3,a

15、∧=y-b∧·x=0.08,所以线性回归方程为y∧=a∧+b∧x=0.08+1.23x.(2)当x=10时,y∧=0.08+1.23×10=12.38(万元),即若估计使用年限为10年时,维修费用为12.38万元.[一点通] 线性回归分析的步骤:(1)列出散点图,从直观上分析数据间是否存在线性相关关系;(2)计算x,y,∑n,i=1x,∑n,i=1y,∑n,i=1xiyi;(3)代入公式求出y∧=b∧x+a∧中参数b∧,a∧的值;(4)写出线性回归方程,并对实际问题作出估计.1.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统

16、计分析,所得数据如下表:x681012y2356则y对x的线性回归方程为_________________________________________________.解析:∵==9,==4,故y对x的线性回归方程为y∧=0.7x-2.3.答案:y∧=0.7x-2.32.某班5名学生的数学和物理成绩如表:学生学科ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图;(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程;(3)一名学生的数学成绩是96,试预测他的物理成绩.解:(1)散点图如

17、图.(2)∵x=×(88+76+73+66+63)=73.2.y=×(78+65+71+64+61)=67.8.xiyi=88×78+76×65+73×71+66×64+63×61=25054.又x=882+762+732+662+632=27174.∴y对x的线性回归方程是y∧=0.625x+22.05.(3)当x=96时,y∧=0.625×96+22.05≈82.可以预测他的物理成绩是82.  [例2] 现随机抽取了某中学高一10名在校学生,他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下:学生号1234

18、5678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771  请问:这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系?[思路点拨] 可先计算线性相关系数r的值,然后与r0.05比较,进而对x与y的相关性作出判断.[精解详析] x=(120

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