高中数学第3章统计案例3.2回归分析教学案苏教版选修

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1、3.2回归分析1．线性回归模型(1)随机误差具有线性相关关系的两个变量的取值x、y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差．(2)随机误差产生的主要原因①所用的确定性函数不恰当引起的误差；②忽略了某些因素的影响；③存在观测误差．(3)线性回归模型中a，b值的求法y＝a＋bx＋ε称为线性回归模型．a，b的估计值为a∧，b∧，则(4)回归直线和线性回归方程直线y_∧＝a_∧＋b_∧x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，a∧称为回归截距，b∧称为回归

2、系数，y∧称为回归值．2．样本相关系数r及其性质(1)r＝．(2)r具有以下性质①

3、r

4、≤1．②

5、r

6、越接近于1，x，y的线性相关程度越强．③

7、r

8、越接近于0，x，y的线性相关程度越弱．3．对相关系数r进行显著性检验的基本步骤(1)提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系．(2)如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n－2在教材附录2中查出一个r的临界值r0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)．(3)计算样本相关系数r．(4)作出统计推断：若

9、r

10、>r0.05，则否定H0，表

11、明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若

12、r

13、≤r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系．1．在线性回归方程中，b既表示回归直线的斜率，又表示自变量x的取值增加一个单位时，函数值y的改变量．2．通过回归方程y∧＝a∧＋b∧x可求出相应变量的估计值．3．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．　　[例

14、1]　假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0　　若由数据可知，y对x呈现线性相关关系．(1)求线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？[思路点拨]　代入数值求线性回归方程，然后把x＝10代入，估计维修费用．[精解详析]　(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x49162536经计算得：x＝4，y＝5，∑5,i＝1x＝90，∑5,i＝1

15、xiyi＝112.3，a∧＝y－b∧·x＝0.08，所以线性回归方程为y∧＝a∧＋b∧x＝0.08＋1.23x.(2)当x＝10时，y∧＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)，即若估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元．[一点通]　线性回归分析的步骤：(1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；(2)计算x，y，∑n,i＝1x，∑n,i＝1y，∑n,i＝1xiyi；(3)代入公式求出y∧＝b∧x＋a∧中参数b∧，a∧的值；(4)写出线性回归方程，并对实际问题作出估计．1．某研究机构对高三

16、学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表：x681012y2356则y对x的线性回归方程为_________________________________________________．解析：∵＝＝9，＝＝4，故y对x的线性回归方程为y∧＝0.7x－2.3.答案：y∧＝0.7x－2.32．某班5名学生的数学和物理成绩如表：学生学科ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试

17、预测他的物理成绩．解：(1)散点图如图．(2)∵x＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2.y＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.又x＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.∴y对x的线性回归方程是y∧＝0.625x＋22.05.(3)当x＝96时，y∧＝0.625×96＋22.05≈82.可以预测他的物理成绩是82.　　[例2]　现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一

18、次考试的数学成绩(y)如下：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771　　请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？[思路点拨]　可先计算线性相关系数r的值，然后与r0.05比较，进而对x与y的相关性作出判断．[精解详析]　x＝(120