高中数学 第三章 统计案例 3.2 回归分析学案新人教a版选修2-3

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1、§3.2回归分析教学目标（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；（3）能求出简单实际问题的线性回归方程．教学重点，难点线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．教学过程一．问题情境1．情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y的值．时刻/s位置观测值/cm根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是：先作散点图，如下图所示：从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间与位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它

2、们之间的关系．根据线性回归的系数公式，可以得到线性回归方为，所以当时，由线性回归方程可以估计其位置值为2．问题：在时刻时，质点的运动位置一定是吗？二．学生活动思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映与之间的关系，的值不能由完全确定，它们之间是统计相关关系，的实际值与估计值之间存在着误差．三．建构数学1．线性回归模型的定义：我们将用于估计值的线性函数作为确定性函数；的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差；将称为线性回归模型．说明：（1）产生随机误差的主要原因有：①所用的确定性函数不恰当引起的误差；②忽略了某些因素的影响；③存在观测误差．（2）对于线性回归模型，我

3、们应该考虑下面两个问题：①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）；②在模型合理的情况下，如何估计，？2．探求线性回归系数的最佳估计值：对于问题②，设有对观测数据，根据线性回归模型，对于每一个，对应的随机误差项，我们希望总误差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值时的，值作为，的估计值，记为，．注：这里的就是拟合直线上的点到点的距离．用什么方法求，？回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求，的方法：最小二乘法．利用最小二乘法可以得到，的计算公式为，其中，由此得到的直线就称为这对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中，分别为，的估计值，称为回归截

4、距，称为回归系数，称为回归值．在前面质点运动的线性回归方程中，，．3．线性回归方程中，的意义是：以为基数，每增加1个单位，相应地平均增加个单位；四．数学运用1．例题：例1．下表给出了我国从年至年人口数据资料，试根据表中数据估计我国年的人口数．年份人口数/百万例2．某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本（万元）与人均产出（万元）的数据：人均资本/万元人均产出/万元（1）设与之间具有近似关系（为常数），试根据表中数据估计和的值；（2）估计企业人均资本为万元时的人均产出（精确到）．§3.2回归分析(2)教学目标（1）通过实例了解相关系数的概念和性质，感受相关

5、性检验的作用；（2）能对相关系数进行显著性检验，并解决简单的回归分析问题；（3）进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用．教学重点，难点相关系数的性质及其显著性检验的基本思想、操作步骤．教学过程一．问题情境1．情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义．二．学生活动对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们

6、可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量与的线性相关性进行检验（简称相关性检验）．三．建构数学1．相关系数的计算公式：对于，随机取到的对数据，样本相关系数的计算公式为．2．相关系数的性质：（1）；（2）越接近与1，，的线性相关程度越强；（3）越接近与0，，的线性相关程度越弱．可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关．3．对相关系数进行显著性检验的步骤：相关系数的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数

7、进行显著性检验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是：（1）提出统计假设：变量，不具有线性相关关系；（2）如果以的把握作出推断，那么可以根据与（是样本容量）在附录（教材P111）中查出一个的临界值（其中称为检验水平）；（3）计算样本相关系数；（4）作出统计推断：若，则否定，表明有的把握认为变量与之间具有线性相关关系；若，则没有理由拒绝，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量与之间具有线性相关关系．说明：