2019年高中数学 双基限时练23 新人教B版必修4

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1、2019年高中数学双基限时练23新人教B版必修41．已知向量a，b的夹角为60°，且

2、a

3、＝2，

4、b

5、＝3，则a2＋a·b＝(　　)A．10　　　　　　　　　B.C．7D.49解析　a2＋a·b＝

6、a

7、2＋

8、a

9、

10、b

11、cos60°＝4＋2×3×＝7.答案　C2．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，

12、a

13、＝1，

14、b

15、＝2，则

16、c

17、＝(　　)A．1B．2C．4D.解析　∵c＝－(a＋b)，∴c2＝a2＋b2＋2a·b.∵a·b＝0，∴c2＝5，即

18、c

19、＝.故选D.答案　D3．已知向量m，n的夹角为，且

20、m

21、＝，

22、n

23、＝2，则

24、m－n

25、(　　)A．4B．3C．2D．1解

26、析　

27、m－n

28、2＝m2－2m·n＋n2＝3－2××2×＋4＝1，∴

29、m－n

30、＝1.答案　D4．设a，b，c是任意三个非零向量且互不共线，下列各式正确的个数是(　　)①(a·b)2＝a2·b2；②＝；③(a·b)·c－(a·c)·b＝0；④

31、a·b

32、＝

33、a

34、·

35、b

36、.A．0B．1C．2D．4解析　①中错误地迁移了实数的乘方运算，事实上，由a·b＝

37、a

38、

39、b

40、cosθ得(a·b)2＝(

41、a

42、

43、b

44、cosθ)2＝

45、a

46、2

47、b

48、2cos2θ＝a2b2cos2θ，其中θ＝〈a，b〉，只有当cos2θ＝1，即a∥b时(a·b)2＝a2·b2才成立，而当cos2θ≠1时，a2·b2cos

49、2θ

50、a·b

51、＝

52、a

53、

54、b

55、

56、cosθ

57、，只有当θ＝0或θ＝π时，

58、a·b

59、＝

60、a

61、·

62、b

63、才成立，故④错．答案　A5．若非零向量a，b满足

64、a

65、＝

66、b

67、，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°解析　∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0.∴2

68、a

69、

70、b

71、cos〈a，b〉＋

72、b

73、2＝0.

74、∵

75、a

76、＝

77、b

78、，∴cos〈a，b〉＝－.∴〈a，b〉＝120°.答案　C6．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点解析　由·＝·，∴⊥.同理⊥，⊥，∴O是△ABC高的交点．答案　D7．已知a，b满足

79、b

80、＝2，a与b夹角为60°，则b在a上的投影是________．解析　b在a上的投影为

81、b

82、cos〈a，b〉＝2×cos60°＝1.答案　18．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.解

83、析　b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋1－t＝1－t＝0，解得t＝2.答案　2能力提升9．在边长为1的等边三角形ABC中，设＝a，＝b，则a·b＝________.解析　a·b＝1×1×cos120°＝－.答案　－10．已知a＋b＋c＝0，

84、a

85、＝3，

86、b

87、＝5，

88、c

89、＝7.是否存在实数μ，使μa＋b与a－2b垂直？解　若(μa＋b)⊥(a－2b)，则(μa＋b)·(a－2b)＝0，∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0.又∵a＋b＋c＝0，c＝－a－b，则

90、c

91、2＝

92、a＋b

93、2＝9＋25＋2a·b＝49，∴a·b＝.∴9μ－2×25－2μ

94、×＋＝0.∴μ＝－.∴存在μ＝－，使得μa＋b与a－2b垂直．11．已知

95、a

96、＝4，

97、b

98、＝3，且(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求

99、a＋b

100、；(3)若＝b，＝a，作△ABC，求△ABC的面积．解析　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4

101、a

102、2－4a·b－3

103、b

104、2＝61.∴a·b＝－6，∴cosθ＝＝＝－.∴θ＝.(2)

105、a＋b

106、＝＝＝＝.(3)S△ABC＝

107、

108、

109、

110、sinA＝×3×4×sin＝3.12．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若

111、ka＋b＋c

112、>1

113、(k∈R)，求k的取值范围．解析　(1)证明：∵a·b＝a·c＝b·c＝1×1×＝－，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝0.∴(a－b)⊥c.(2)因为

114、ka＋b＋c

115、>1，所以(ka＋b＋c)2>1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.所以k2＋1＋1－k－k－1>1.所以k2－2k>0.解得k<0或k>2.所以实数k的取值范围为k<0或k>2.品味高考13．已知向量与的夹角120°，有

116、

117、＝3，

118、

119、＝2，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为______________．解析　∵＝－，由⊥，得