2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程学案 苏教版选修1 -1

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1、2.3.1　双曲线的标准方程学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一　双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.知识点二　双曲线的标准方程思考　如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使OB＝b吗？答案　以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点

2、B，此时OB＝b.梳理　焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距F1F2＝2c，c2＝a2＋b21.在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同.(　×　)2.点A(1,0)，B(－1,0)，若AC－BC＝4，则点C的轨迹是双曲线.(　×　)3.在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b.(　×　)4.双曲线－＝1的焦距为4.(　√　)类型一　求双曲线的标准方程例1　求下列双曲线

3、的标准方程：(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)过点P，Q，且焦点在坐标轴上.考点　双曲线的标准方程的求法题点　定义法、待定系数法求双曲线的标准方程解　(1)椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3).设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的

4、标准方程为－＝1.(3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0).因为点P，Q在双曲线上，所以解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.反思与感悟　待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).②与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2).(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.(4)结论：写出双曲线的标

5、准方程.跟踪训练1　根据条件求双曲线的标准方程：(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；(2)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；(3)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4).考点　双曲线的标准方程的求法题点　定义法、待定系数法求双曲线的标准方程解　(1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.由题意知－＝1，∴－＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍).∴b2＝1，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0).∵点P(4，－

6、2)和点Q(2，2)在双曲线上，∴解得∴双曲线的标准方程为－＝1.(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的标准方程为－＝1.由题意，知解得∴双曲线的标准方程为－＝1.类型二　由双曲线方程求参数值或范围例2　方程＋＝1表示双曲线，那么m的取值范围为____________________.考点　双曲线的标准方程题点　由双曲线方程求参数答案　{m

7、－3＜m＜2或m＞3}解析　依题意有或解得－3＜m＜2或m＞3.∴m的取值范围为{m

8、－3＜m＜2或m＞3}.反思与感悟　方程表示双曲线的条件及参

9、数范围求法(1)对于方程＋＝1，当mn<0时，表示双曲线.进一步，当m>0，n<0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时，表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程－＝1，当mn>0时，表示双曲线，且当m>0，n>0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时，表示焦点在y轴上的双曲线.(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围.跟踪训练2　(1)已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围为______

10、__.考点　双曲线的标准方程题点　由双曲线方程求参数答案　(－1,1)解析　方程－＝1表示双曲线，则(1＋k)(1－k)＞0，∴(k＋1)(k－1)＜0，∴－1＜k＜1.(2)双曲线2x2－y2＝k的焦距为6，则k的值为________.考点　双曲线的标准方程题点　由双曲线方程求参数答案　±6解析　当k