2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3 2.3.1 双曲线的标准方程学案 苏教版选修2-1

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1、2.3.1　双曲线的标准方程学习目标：1.了解双曲线标准方程的推导过程．(难点)2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点)3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．(难点)[自主预习·探新知]教材整理　双曲线的标准方程阅读教材P39～P40例1以上部分，完成下列问题．标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c之间的关系c2＝a2＋b2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程－＝1中

2、，a＞0，b＞0且a≠b.(　　)(2)在双曲线标准方程中，a，b和焦点F2(c,0)满足a2＝b2＋c2.(　　)(3)双曲线y2－x2＝1的焦点坐标在y轴上．(　　)(4)在双曲线－＝1中，焦点坐标为(±5,0)．(　　)[解析]　(1)方程－＝1中，a>0，b>0.a＝b时也是双曲线，故不正确；(2)在双曲线标准方程中，都有a2＋b2＝c2.故不正确．(3)根据标准方程特点，正确．(4)在－＝1中，c＝＝，所以焦点坐标为(0，±)．[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×[合作探究·攻重难]求双曲线标准方程　根据下列条件，求双曲线的标准方程

3、．(1)经过点P，Q；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上.【导学号：71392073】[精彩点拨]　解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程．解答(2)利用待定系数法．[自主解答]　(1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，∴点P和Q在双曲线上，∴解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得解得∴双曲线的标准方程为－＝1.法二：

4、设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．∵P，Q两点在双曲线上，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．依题设有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.法二：∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.[名师指津]　1．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于

5、哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．[再练一题]1．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程．[解]　椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为－＝1.由题意，知解得故双曲线的方程为－＝1.双曲线标准方程的讨论　(1)如果方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．(2)“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的________条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)．(

6、3)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围.【导学号：71392074】[精彩点拨]　根据双曲线标准方程的特征列不等式组求解．[自主解答]　(1)由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.故m的取值范围是(－2，－1)．(2)若ax2＋by2＝c表示双曲线，即＋＝1表示双曲线，则<0，这就是说“ab<0”是必要条件，然而若ab<0，c等于0时不表示双曲线，即“ab<0”不是充分条件．[答案]　(1)(－2，－1)　(2)必要不充分(3)由方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得解得m>5.所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．[

7、名师指津]　方程表示双曲线的条件及参数范围的求法(1)对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线.进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程－＝1，则当mn＞0时表示双曲线.且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线.(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围.[再练一题]2．讨论＋＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？[解]　由于k

8、≠9，k≠25，则k的取值范围为k<9,925，分别进行讨论．(