2018版高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程学案 苏教版选修2-1

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1、2．3.1　双曲线的标准方程[学习目标]　1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一　双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点二　双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c,0)，F2(c,

2、0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距F1F2＝2ca、b、c的关系c2＝a2＋b2思考　(1)双曲线定义中，将“小于F1F2”改为“等于F1F2”或“大于F1F2”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案　(1)当距离之差等于F1F2时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于F1F2时，动点的轨迹不存在．(2)a，b的值及焦点所在的位置．题型一　求双曲线的标准方程例1　根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P(3，)，

3、Q(－，5)；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．解　(1)方法一　若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由于点P(3，)和Q(－，5)在双曲线上，所以解得(舍去)．若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P、Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为－＝1.综上，双曲线的标准方程为－＝1.方法二　设双曲线方程为＋＝1(mn<0)．∵P、Q两点在双曲线上，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)方法一　依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，

4、b>0)．则有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.方法二　∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.反思与感悟　求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(m

5、n<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，从而简化求解过程．跟踪训练1　求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)．解　(1)由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，又知焦点在x轴上，且c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，所以双曲线的标准方程为－＝1.(2)因为焦点在x轴上，可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，将点(4，－2)和

6、(2，2)代入方程得解得a2＝8，b2＝4，所以双曲线的标准方程为－＝1.题型二　双曲线定义的应用例2　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积．解　双曲线的标准方程为－＝1，故a＝3，b＝4，c＝＝5.(1)由双曲线的定义得

7、MF1－MF2

8、＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则

9、1

10、6－x

11、＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将

12、PF2－PF1

13、＝2a＝6两边平方得PF＋PF－2PF1·PF2＝36，∴PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)，∴∠F1PF2＝90°，∴＝PF1·PF2＝×32＝16.反思与感悟　(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的

14、距离，则根据

15、PF1－PF2

16、＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件

17、PF1－PF2

18、＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．跟踪训练2　已知双曲线－＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．解　由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义和