2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程学案 苏教版选修2-1

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1、2.3.1　双曲线的标准方程学习目标　1.掌握双曲线标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点　双曲线的标准方程思考　双曲线标准方程中的a，b，c的关系如何？与椭圆标准方程中的a，b，c的关系有何不同？答案　双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．梳理　(1)两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方

2、程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2＋b2＝c2(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．1．方程－＝1(m·n＞0)表示焦点在

3、x轴上的双曲线．(×)2．在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.(×)3．在双曲线标准方程－＝1(a＞0，b＞0)中，焦距为2c，则a2＝b2＋c2.(×)类型一　求双曲线的标准方程例1　求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－4)，.考点　双曲线的标准方程的求法题点　待定系数法求双曲线的标准方程解　(1)方法一　椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得故所求双曲线的方程为－＝1.方法二　由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，设

4、所求双曲线方程为－＝1(16<λ<25)．∵双曲线过点(－2，)，∴－＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)，故所求双曲线的方程为－＝1.(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，则解得∴双曲线的标准方程为－＝1.反思与感悟　待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2

5、(4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1　(1)求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P，Q两点，求双曲线的标准方程．考点　双曲线的标准方程的求法题点　待定系数法求双曲线的标准方程解　(1)由题意，知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将点A(4，－5)代入双曲线方程，得－＝1.又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，所以双曲线的标准方程为－＝1.(2)若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以解得(舍去)．若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(

6、a＞0，b＞0)，将P，Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为－＝1.综上，双曲线的标准方程为－＝1.类型二　曲线方程的讨论例2　若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．解　由方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得解得m＞5.所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．反思与感悟　给出方程＋＝1(mn≠0)，当mn＜0时，方程表示双曲线，当时，表示焦点在x轴上的双曲线；当时，表示焦点在y轴上的双曲线．跟踪训练2　(1)“3＜m＜5”是“方程＋＝1表示双曲线”的_________条件．答案　充分不必要解析　(m－5)(m2－m－6)＝(m－5)(m－3)(m＋2)．①方

7、程＋＝1表示双曲线⇒(m－5)(m2－m－6)＜0，即(m－5)(m－3)(m＋2)＜0⇒3＜m＜5或m＜－2⇏3＜m＜5，∴3＜m＜5不是“＋＝1表示双曲线”的必要条件．②3＜m＜5⇒(m－5)(m－3)(m＋2)＜0，即(m－5)(m2－m－6)＜0⇒＋＝1表示双曲线．∴3＜m＜5是＋＝1的充分条件．(2)讨论＋＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．解　由于k≠9，k≠25，则k的取值范围为k＜9,9＜k＜25，k＞25，分别进行讨论．①当k＜9时，