2018-2019学年高中数学 第1部分 第2章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线的标准方程讲义（含解析）苏教版选修2-1

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1、2．3.1　双曲线的标准方程在平面直角坐标系中A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．问题1：若动点M满足

2、MA－MB

3、＝4，设M的坐标为(x，y)，则x，y满足什么关系？提示：－＝1.问题2：若动点M满足

4、MC－MD

5、＝4，设M的坐标为(x，y)，则x，y满足什么关系？提示：－＝1.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点坐标(±c,0)(0，±c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x，y项的平方差，右边是1.2．在双

6、曲线中，a>0且b>0，但a与b的大小关系不确定．3．在双曲线中a、b、c满足c2＝a2＋b2，与椭圆不同．用待定系数法求双曲线方程[例1]　已知双曲线过点P(－，－)，Q两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨]　解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b、c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程．[精解详析]　法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∵P(－，－)，Q两点在双曲线上．∴解得即a2＝1，b2＝3，

7、∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∵P(－，－)，Q两点在双曲线上，∴解得(不符合题意，舍去)．综上：所求双曲线的标准方程为x2－＝1.法二：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为双曲线过两点P(－，－)，Q，得解得所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1.[一点通]　用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上

8、．解：(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1.由题意，知解得故双曲线的方程为－＝1.(2)∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是－y2＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝4，c＝5，焦点在y轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．解：(1)由题设知，a＝4，c＝5，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝52－42＝9.因为双曲线的

9、焦点在y轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝

10、－

11、＝

12、13－5

13、＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.曲线方程的讨论[例2]　若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．[思路点拨]　由双曲线的焦点在y轴上，得关于m的不等式组，进而解不等式组求m的范围．[精解详析]　由方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得解得m>5.所以实数m的取值范围是(5，＋

14、∞)．[一点通]　给出方程＋＝1(mn≠0)，当mn<0时，方程表示双曲线，当时，表示焦点在x轴上的双曲线；当时，表示焦点在y轴上的双曲线．3．k＞9是方程＋＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：＋＝1表示双曲线的充要条件是(9－k)·(k－4)＜0，即k＞9或k＜4.因为k＞9是k＞9或k＜4的充分不必要条件．即k＞9是方程＋＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要4．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是________；若该方

15、程表示双曲线，则m的取值范围是________．解析：①若表示焦点在x轴上的双曲线，则⇒－3

16、m

17、－3)<0.解得－33.答案：(－3,2)　(－3,2)∪(3，＋∞)双曲线的定义及其标准方程的应用[例3]　已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积．[思路点拨]　本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F1PF2的大小．由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果．[精解详析]　双曲线

18、的标准方程为－＝1，可知a＝3，b＝4，c＝＝5.由双曲线的定义，得

19、PF2－PF1

20、＝2a＝6，将此式两边平方，得PF＋PF－2PF1·PF2＝36，∴PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝