2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质学案 苏教版选修2-1

《2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质学案 苏教版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.3.2　双曲线的几何性质学习目标　1.了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系．知识点一　双曲线的性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点二　等轴双

2、曲线思考　求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．(1)x2－y2＝1；(2)4x2－4y2＝1.答案　(1)的实半轴长为1，虚半轴长为1(2)的实半轴长为，虚半轴长为.它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理　实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为.1．双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(√)2．双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×)3．等轴双曲线的离心率为.(√)4．离心率是的双曲线为等轴双曲线．(√)类型一　双曲线的几何性质例1　求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标

3、、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.引申探究将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答．解　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4

4、，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.反思与感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.类型二　由双曲线的几何性质确定标准方程例2　求适合下列条件的双曲线标

5、准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，得b＝，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，得b＝2.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k(k≠0)，将点(2，－2)代入，得

6、k＝－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1.反思与感悟　由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为(1)判断：利用条件判断焦点的位置．(2)设：设出双曲线的标准方程．(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程．(4)求：解参数方程，进而得标准方程．跟踪训练2　(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．解　(1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．∵点M(3，－2)在双曲线上，∴－＝λ，即λ＝

7、－2.∴双曲线的标准方程为－＝1.(2)∵e＝，∴＝，∴＝，∴a2＝3b2.①又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.类型三　双曲线的离心率例3　已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．考点　双曲线的离心率与渐近线题点　求双曲线的离心率解　设F1(c,