2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3 2.3.2 双曲线的几何性质学案 苏教版选修2-1

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1、2.3.2　双曲线的几何性质学习目标：1.了解双曲线的简单几何性质．(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别．(易混点)[自主预习·探新知]教材整理1　双曲线的简单几何性质阅读教材P43～P46例1以上部分，完成下列问题．标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称轴x轴，y轴对称中心原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实

2、轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝∈(1，＋∞)渐近线y＝±xy＝±x判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　)(2)在双曲线中，实轴长，虚轴长分别为a，b.(　　)(3)双曲线的渐近线方程为y＝±x.(　　)(4)离心率e越大，其渐近线斜率的绝对值越大．(　　)(5)在双曲线－y2＝1中，x的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(　　)[解析]　(1)正确．(2)错误．因为实轴长为2a，虚轴长为2b.(3)错误．当焦点在y轴上时，渐近线是y＝±x.(4)错

3、误．e＝，e越大，只能说明的绝对值越大．(5)正确．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√教材整理2　等轴双曲线阅读教材P45倒数第八行以上内容，完成下列问题．1．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．2．性质：(1)等轴双曲线的离心率e＝；(2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直．填空：(1)双曲线x2－y2＝－2的渐近线为________．(2)过点(2,3)的等轴双曲线方程为________．(3)等轴双曲线x2－y2＝4的焦点坐标为________．[解析]　(1)x2－y2＝－2为等轴双曲线，则渐近线方程为y＝±x，即x±y＝

4、0.(2)设等轴双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把(2,3)代入可得λ＝22－32＝－5，∴方程为x2－y2＝－5，即－＝1.(3)方程可化为－＝1，∴c＝2，焦点为(±2，0)．[答案]　(1)x±y＝0　(2)－＝1　(3)(±2，0)[合作探究·攻重难]由双曲线的方程求其几何性质　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图.【导学号：71392081】[精彩点拨]　本题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b，c即可得解，注意确定焦点所在坐标轴．[自主解答]　将9

5、y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝，因此顶点坐标A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(－，0)，F2(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.作草图，如图所示：[名师指津]　用双曲线标准方程研究几何性质的步骤为：(1)将双曲线方程化为标准方程形式；(2)判断焦点的位置；(3)写出a2与b2的值；(4)写出双曲线的几何性质.[再练一题]1．求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率．[解]　将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为－＝1，∴a2＝

6、4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4，∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4，焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝2.求双曲线的标准方程　求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x；(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．[精彩点拨]　利用待定系数法，当渐近线方程已知时，可利用双曲线设出方程进行求解．[自主解答]　(1)设以直线y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝

7、6⇒λ＝.当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为－＝1.[名师指津]　双曲线方程的求解方法(1)根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程.(2)以y＝±x为渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，以