江苏专用2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的几何性质学案苏教版选修

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1、2.3.2　双曲线的几何性质学习目标：1.了解双曲线的几何性质．(重点)　2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)　3.会用双曲线的几何性质处理简单的问题．(难点)[自主预习·探新知]1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a对称性对称轴：x轴，y轴，对称中心：原点O顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)离心率e＝　　渐近线y＝±xy＝±x2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离心率e＝.3．离心率对双曲线开口大小的影响以双曲线－＝

2、1(a>0，b>0)为例．e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．[基础自测]1．判断正误：(1)等轴双曲线的离心率是.(　　)(2)方程－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x.(　　)(3)离心率越大，双曲线－＝1的渐近线斜率绝对值越大．(　　)【解析】　(1)√.因为a＝b，所以c＝a，所以e＝＝.(2)×.由－＝1，得y＝±x，所以渐近线方程为y＝±x.(3)√.由＝＝(e＞1)，所以e越大，渐近线y＝±x斜率的绝对值越大．【答案】　(1)√　(2)×　(3)√

3、2．双曲线x2－＝1的渐近线方程为________，离心率e＝________.【导学号：95902117】【解析】　a＝1，b＝，∴渐近线方程为y＝±x，离心率e＝＝＝2.【答案】　y＝±x　2[合作探究·攻重难]由双曲线的标准方程求几何性质　求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[思路探究]　→→【自主解答】　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝.顶点坐标为(－，0)，(

4、，0)．∴渐近线的方程为y＝±x＝±x.[规律方法]　1．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a、b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．2．(1)由双曲线方程求其几何性质时，要与椭圆区分开，不能混淆，如对椭圆a2＝b2＋c2，而对双曲线则是c2＝a2＋b2；对椭圆e＝＝，对双曲线则是e＝＝.(2)求双曲线的渐近线方程时，只需将双曲线方程中的常数项化为零即可得到．[跟踪训练]1．求双曲线x2－3y2＋12＝0的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【

5、导学号：95902118】【解】　将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为－＝1，∴a＝2，b＝2，c＝4，因此顶点A1(0，－2)，A2(0,2)，焦点坐标F1(0，－4)，F2(0,4)，实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4，离心率e＝2，渐近线方程为y＝±x.由双曲线的几何性质求标准方程　求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)离心率为2，焦点到渐近线的距离等于；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共的渐近线，且过点M(2，－2)．[思路探究]　→→→【自主解答】　(1)依题意，b＝，＝2⇒a＝1，c＝2，∴双曲线的方程为x2－＝1或y

6、2－＝1.(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝；当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.∴所求的方程为－＝1和－＝1.(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1.[规律方法]　1．根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．2．利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程－＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量

7、，提高解题速度与准确性．[跟踪训练]2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________.【导学号：95902119】【解析】　由题意知，椭圆的焦点坐标是(±，0)，离心率是.故在双曲线中c＝，e＝＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求双曲线的方程是－＝1.【答案】　－＝1双曲线的离心率[探究问题]1．双曲线离心率的定义式是什么？你能从其定义式得到其离心率的范围吗？【提示】　e＝，因为c2＝a2＋b2，所以c