2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质学案 苏教版选修1 -1

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1、2.3.2　双曲线的几何性质学习目标　1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.知识点一　双曲线的几何性质思考　类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质？答案　范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.梳理　标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±

2、xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)知识点二　双曲线的离心率思考　在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案　双曲线－＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e＝，则＝＝.当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.梳理　定义：双曲线的焦距与实轴长的比e＝，叫做双曲线的离心率.性质：离心率e的取值范围是(1，＋∞).e越大，双曲线的张口越大.知识点三　双曲线的相关概念实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为.1

3、.等轴双曲线的离心率是1.(　×　)2.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.(　×　)3.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(　×　)4.方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　×　)类型一　已知双曲线的标准方程研究几何性质例1　求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.考点　双曲线的几何性质题点　由双曲线的方程研究几何性质解　将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为－＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4，∴双曲线的实轴长为2a＝4，虚轴长为2b＝4；焦点坐标为F1(0

4、，－4)，F2(0,4)；顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)；渐近线方程为y＝±x；离心率e＝2.反思与感悟　已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.考点　双曲线的几何性质题点　由双曲线的方程研究几何性质解　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；焦点坐标为(－，0)，(，0

5、)；实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x＝±x.类型二　由双曲线的几何性质确定标准方程例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程.考点　双曲线性质的应用题点　由双曲线的几何性质求方程解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0).由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(

6、λ≠0).当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝；当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0).将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1.反思与感悟　(1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求出a，b，写出方程.(2)①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ

7、渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝；(3)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3).考点　双曲线性质的应用题点　由双曲线的几何性质求方程解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)由e2＝