2018版高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质学案 苏教版选修2-1

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1、2．3.2　双曲线的几何性质[学习目标]　1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．知识点一　双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线y＝±x

2、y＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)知识点二　等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.思考　(1)椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？答案　(1)不一样．椭圆的离心率01.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±x的双曲线可设为－＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ>0时，焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上．题型一

3、　已知双曲线的标准方程求其几何性质例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝.因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.反思与感悟　讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．跟踪训练1　求双曲线x2－3y2

4、＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．解　将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程－＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4.∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4.焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝2.题型二　根据双曲线的几何性质求标准方程例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(

5、2，－3)．解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.(2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②联立①②，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④联立③④，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.方法二　由双曲线的渐近线方

6、程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.反思与感悟　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求出来．当双曲线的渐近线方程为y＝±x时，可以将方程设为－＝λ(λ≠0)．跟踪训练2　根据条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线－＝1

7、有共同渐近线，且过点(－3，2)；(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．解　(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，由题意可知－＝λ，解得λ＝.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设所求双曲线方程为－＝1(16－k>0，4＋k>0)，∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，解得k＝4或k＝－14(舍去)．∴所求双曲线的标准方程为－＝1.题型三　直线与双曲线的位置关系例3　直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l的方程．解　设直线l的方程为y＝2x＋m，由得10x2＋12

8、mx＋3(m2＋2)＝0.(*)设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，∴y1－y2＝2(x1－x2)，∴AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[m2－4×(m2＋2)]．∵AB＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16.∴3m2＝70，m＝±.由(*)式得Δ＝24m2－240，把m＝±代入上式，得Δ>0，∴