2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质学案 苏教版选修1 -1

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1、2.4.2　抛物线的几何性质学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点一　抛物线的几何性质思考1　类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点坐标吗？答案　范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0).思考2　抛物线标准方程y2＝2px(p>0)中的参数p对抛物线开口大小有何影响？答案　p越大，开口越大.梳理　标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈

2、Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1知识点二　焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y2＝2px(p>0)AB＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)AB＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p>0)AB＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)AB＝p－(y1＋y2)知识点三　抛物线中的弦长与中点弦问题1.相交弦长弦长公式：d＝

3、x1－x2

4、＝

5、y1－y2

6、.2.已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦，其中点M的坐标为(x0，y0)，运用平方差法可推导AB的斜率如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)

7、，则有由②－①得(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1).③∵kAB＝，④y1＋y2＝2y0，⑤由③④⑤得kAB＝，即弦AB的斜率只与p和弦AB中点的纵坐标有关.1.抛物线y＝2px2(p>0)的对称轴为y轴.(　√　)2.抛物线关于顶点对称.(　×　)3.抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.(　√　)4.抛物线的标准方程各不相同，其离心率也各不相同.(　×　)类型一　由抛物线的几何性质求标准方程例1　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.考点　抛物线的几何性

8、质题点　由几何性质求抛物线方程解　由题意设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，焦点坐标为F.直线l：x＝，所以A，B两点的坐标为，，所以AB＝2

9、m

10、.因为△OAB的面积为4，所以··2

11、m

12、＝4，所以m＝±2.所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.引申探究　等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是________.答案　4p2解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组得或所以易得A，B两点的坐标分

13、别为(2p,2p)和(2p，－2p).所以AB＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.反思与感悟　把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程.考点　抛物线的几何性质题点　由几何性质求抛物线方程解　设抛物线的方程为y2＝2ax(

14、a≠0)，点P(x0，y0).因为点P到对称轴距离为6，所以y0＝±6.因为点P到准线距离为10，所以＝10.①因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0，②由①②，得或或或所以所求抛物线的方程为y2＝±4x或y2＝±36x.类型二　抛物线的焦点弦问题例2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.考点　抛物线的焦点弦问题题点　求抛物线的焦点弦长及与焦点弦有关的其他问题解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率为k＝tan60°＝.又F，所以直线l的方程

15、为y＝.联立消去y，得x2－5x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.而AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以AB＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).由抛物线定义知，AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝.反思与感悟　(1)抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段焦半径公式P(x0，y0)