2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学案苏教版选修2.doc

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1、2.4.2　抛物线的几何性质学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题．知识点　抛物线的几何性质思考　观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴上的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？答案　(1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y2＝2px(

2、p>0)有所以x≥0.所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．梳理　四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点FFFF准线方程x＝－x＝y＝－y＝顶点坐标O(0,0)通径长2p1．抛物线关于顶点对称．(×)2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(√)3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(√)类型一　依据抛物线的几何性质求

3、标准方程例1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．解　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3,∴p＝6.∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3或x＝3.引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程．解　由题意，设抛物线方程为y2＝2

4、mx(m≠0)，焦点F，直线l：x＝，所以A，B两点坐标为，，所以

5、AB

6、＝2

7、m

8、.因为△OAB的面积为4，所以··2

9、m

10、＝4，所以m＝±2.所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.反思与感悟　用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1　已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．解　因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.类型二　抛物线的焦半径和焦点弦问题例2　(1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________．

11、(2)直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若AB＝8，则直线l的方程为________________．(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________．答案　(1)16　(2)x＋y－1＝0或x－y－1＝0　(3)解析　(1)由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.(2)∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，若l与

12、x轴垂直，则AB＝4，不符合题意，∴可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，(*)则由根与系数的关系，得x1＋x2＝.又AB过焦点，由抛物线的定义可知AB＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，∴＝6，解得k＝±1.此时(*)式变为x2－6x＋1＝0，满足Δ＞0.∴所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.(3)抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，又准线方程为x＝－1，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.反思与感悟　1.抛物线上

13、任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为(1)抛物线y2＝2px(p>0)，PF＝＝＋x0.(2)抛物线y2＝－2px(p>0)，PF＝＝－x0.(3)抛物线x2＝2py(p>0)，PF＝＝＋y0.(4)抛物线x2＝－2py(p>0)，PF＝＝－y0.2．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x