江苏专用2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的几何性质学案苏教版选修

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1、2.4.2　抛物线的几何性质学习目标：1.了解抛物线的简单的几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等．　2.会用抛物线的几何性质处理简单的实际问题．(难点)[自主预习·探新知]抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点FFFF准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下[基础自测]1．判断正误：(1)抛物线是中心对称图形

2、．(　　)(2)抛物线的范围是x∈R.(　　)(3)抛物线是轴对称图形．(　　)【解析】　(1)×.在抛物线方程中，以－x代x，－y代y，方程发生了变化，故抛物线不是中心对称图形．(2)×.抛物线的方程不同，其范围就不同，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R.(3)√.抛物线y2＝±2py(p＞0)的对称轴是x轴，抛物线x2＝±2py(p＞0)的对称轴是y轴．【答案】　(1)×　(2)×　(3)√2．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点的距离是a，则点M的横坐标是________.【导学号

3、：95902138】【解析】　由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－.【答案】　a－[合作探究·攻重难]抛物线的方程及其几何性质　(1)设O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若PF＝4，则△POF的面积为________．(2)已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此拋物线的标准方程.[思路探究]　(1)利用抛物线的对称性及等边三

4、角形的性质求解；(2)设出抛物线的标准方程，根据抛物线的对称性表示出三角形的面积，解方程可得抛物线方程中的参数，即得抛物线的方程．【自主解答】　(1)如图，设P(x0，y0)，由PF＝x0＋＝4，得x0＝3，代入抛物线方程得y＝4×3＝24.所以y0＝2.所以S△POF＝OF·y0＝××2＝2.【答案】　2(2)由题意，设拋物线方程为y2＝ax(a≠0)．焦点F，直线l：x＝，∴A、B两点的坐标分别为，，∴AB＝a，∵△OAB的面积为4，∴··a＝4，∴a＝±4，∴拋物线的方程为y2＝±4x.[规律方法]

5、　1．求抛物线的标准方程时，目标就是求解p，只要列出一个关于p的方程即可求解．2．求抛物线的标准方程要明确四个步骤：(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)；(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；(3)找关系(根据条件列出关于p的方程)；(4)得出抛物线的标准方程．[跟踪训练]1．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，求抛物线C2的方程.【导学号：95902139】【解】　∵双曲线C1：－＝1(a＞0

6、，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝c，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8，∴所求的抛物线方程为x2＝16y.抛物线中的应用题　河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？[思路探究]　→→→→【自主解答】　如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝

7、，∴抛物线方程为x2＝－y.∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝

8、yA

9、＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．[规律方法]　1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的

10、方程．(2)利用已求方程求点的坐标．[跟踪训练]2．某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如241图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由.【导学号：95902140】图241【解】　建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－3，－3)，A(3，－3)．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，将B点的坐标代入，得9＝－2p·(－3)，∴p＝，∴抛物线方程为x2