高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学案苏教版选修2

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1、2.4.2　抛物线的几何性质1．掌握抛物线的简单几何性质．(重点)2．会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点)3．直线与抛物线的公共点问题．(易错点)[基础·初探]教材整理1　抛物线的几何性质阅读教材P52表格的部分，完成下列问题.类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点FFFF准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下1．判断(

2、正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形．(　　)(2)抛物线的范围是x∈R.(　　)(3)抛物线是轴对称图形．(　　)(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.(　　)(5)抛物线x2＝2py(p＞0)上任意一点P(x0，y0)到其焦点的距离是x0＋.(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×2．抛物线y＝2px2(p>0)的开口方向是________．【解析】　法一：y＝2px2(p>0)可以看作是二次函数，2p>0，开口方向向上．法二：抛物线y＝2px2

3、(p>0)的标准方程是x2＝y，>0，开口方向向上．【答案】　向上教材整理2　抛物线的焦点弦、通径阅读教材P52例1上面的部分，完成下列问题．抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p，称为抛物线的通径．1．过抛物线y2＝4x的焦点F做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，则线段AB的长为________．【解析】　易知线段AB为抛物线的通径，所以AB＝4.【答案】　42．如图242，过抛物

4、线x2＝－4y的焦点作直线垂直于y轴，交抛物线于A，B两点，O为抛物线的顶点，则△OAB的面积是________．图242【解析】　F(0，－1)，将y＝－1代入得xA＝2，∴AB＝4，∴S△OAB＝×4×1＝2.【答案】　2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]抛物线的几何性质　(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离

5、为2，则抛物线C2的方程为________．(2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若△OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________．【自主解答】　(1)∵双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.(2)不妨设抛物线的方程为y2＝2px，如图所示，AB是

6、抛物线的通径，∴AB＝2p，又OF＝p，∴S△OAB＝·AB·OF＝·2p·p＝p2＝4，故p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x.【答案】　(1)x2＝16y　(2)y2＝4x利用抛物线几何性质可以解决的问题1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题．2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．3．范围：解决与抛物线有关的最值问题．4．焦点：解决焦点弦问题．[再练一题]1．(2016·全国卷Ⅱ改编)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝_____________

7、_____________________________.【解析】　∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.【答案】　2抛物线的最值问题　求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.【导学号：09390044】【精彩点拨】　本题的解法有两种：法一，设P(t，－t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d＝，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x＋3y＋m＝0与直线4x＋3y－8＝0平

8、行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．【自主解答】　法一：设P(t，－t2)为抛物线上的点，它到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝＝＝2＋.∴当t＝时，d有最小值.法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，由消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.∴最小距离为＝＝.抛物线中最值的求解策略1．可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值