2018版高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质学案 苏教版选修2-1.doc

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1、2.4.2　抛物线的几何性质[学习目标]　1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题．知识点一　抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1知识点二　焦点弦直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，AF＝x1＋，BF＝x2＋，故AB＝x1＋x2＋p.知识点三　直线与抛物线的位置关系直线y＝kx

2、＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．思考　(1)抛物线x2＝2py(p>0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？(2)影响抛物线开口大小的量是什么？是如何影响的？答案　(1)有一条对称轴即y轴，不是中心对称图形．(2)影响抛物线开口大小的量是参数p.p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．题型一　抛物线的几何性质

3、例1　已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．解　因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.反思与感悟　(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．跟踪训练1　已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且

4、经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．解　(1)当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0)．将点M(1，－2)代入，得m＝4.∴抛物线的标准方程为y2＝4x；(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0)．将点M(1，－2)代入，得n＝－.∴抛物线的标准方程为x2＝－y.故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y.准线方程为x＝－1或y＝.题型二　抛物线的焦点弦问题例2　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB＝p，求AB所在的直线方程．解　由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B

5、(x2，y2)，若AB⊥x轴，则AB＝2p

6、)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝，又F.所以直线l的方程为y＝.联立消去y得x2－5x＋＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，而AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.∴AB＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离等于3＋＝.题型三　直线与抛物

7、线的位置关系例3　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：(1)一个公共点？(2)两个公共点？(3)没有公共点？解　将直线l和抛物线C的方程联立得消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，方程(*)只有一个解，为x＝，此时y＝1.∴直线l与抛物线C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2，①当Δ>0，即k<1且