算经十书《九章算术》难题汇编卷五（商功）

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1、九章算术难题汇编卷五商功〔一〕今有穿地积一万尺。问为坚、壤各几何？　　荅曰：　　为坚七千五百尺。　　为壤一万二千五百尺。　　术曰：穿地四，为壤五，为坚三，为墟四。以穿地求壤，五之；求坚，三之，皆四而一。以壤求穿，四之；求坚，三之，皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之，皆三而一。　　城、垣、堤、沟、?、渠，皆同术。　　术曰：并上下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。　　〔二〕今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？　　荅曰：一百八十九万七千五百尺。　　〔三〕今有垣下广三尺，上广二尺，高

2、一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？　　荅曰：六千七百七十四尺。　　〔四〕今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？　　荅曰：七千一百一十二尺。　　冬程人功四百四十四尺。问用徒几何？　　荅曰：一十六人、一百一十一分人之二。　　术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。　　〔五〕今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？　　荅曰：四千三百七十五尺。　　春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺、五分尺之四。问用徒几何？　　荅曰：七人、三千六十四分人之四百

3、二十七。　　术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。以沟积尺为实。实如法而一，得用徒人数。〔六〕今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。问积几何？　　荅曰：一万九百四十三尺八寸。　　夏程人功八百七十一尺。并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二百三十二尺、一十五分尺之四。问用徒几何？　　荅曰：四十七人、三千四百八十四分人之四百九。　　术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。　　〔七〕今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈

4、八尺，袤五万一千八百二十四尺。问积几何？　　荅曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。　　秋程人功三百尺，问用徒几何？　　荅曰：三万三千五百八十二人功。内少一十四尺四寸。　　一千人先到，问当受袤几何？　　荅曰：一百五十四丈三尺二寸、八十一分寸之八。　　术曰：以一人功尺数，乘先到人数为实。并渠上下广而半之，以深乘之为法。实如法得袤尺。　　〔八〕今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？　　荅曰：三千八百四十尺。　　术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。　　〔九〕今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？　　荅曰：二千一百一

5、十二尺。　　术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。　　〔一0〕今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？　　荅曰：一十万一千六百六十六尺、太半尺。　　术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。〔一一〕今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问积几何？　　荅曰：五百二十七尺、九分尺之七。　　术曰：上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。　　〔一二〕今有方锥下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几何？　　荅曰：七千四十七尺。　　术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。　　〔一三〕今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一

6、尺。问积几何？　　荅曰：一千七百三十五尺、一十二分尺之五。　　术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。　　〔一四〕今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问积几何？　　荅曰：四万六千五百尺。　　术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。　　〔一五〕今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？　　荅曰：九十三尺、少半尺。　　术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。〔一六〕今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺。问积几何？　　荅曰：二十三尺、少半尺。　　术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。　　〔一七〕今有羡除，下广六尺，上

7、广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。问积几何？　　荅曰：八十四尺。　　术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。　　〔一八〕今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？　　荅曰：五千尺。　　术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。　　刍童、曲池、盘池、冥谷，皆同术。　　术曰：倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为下袤。　　〔一九〕今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四

8、丈，高三丈。问积几何？　　荅曰：二万六千五百尺。　　〔二0〕今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈。问积几何？　　荅曰：一千八百八十三尺三寸、少半寸。〔二一〕今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈。问积几何？　　荅曰：七万六百六十六尺、太半尺。　　负土往来七十步，其二十步上下棚除。棚除二当平道五，踟